高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教学设计

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一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作lg aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数的公理化定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，
底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1？
【在一个普通对数式里 a0,N>0，那么：
（1）lg(a)(MN)=lg(a)(M)+lg(a)(N);
（2）lg(a)(M/N)=lg(a)(M)-lg(a)(N);
（3）lg(a)(M^n)=nlg(a)(M) （n∈R）
（4）换底公式：lg(A)M=lg(b)M/lg(b)A (b>0且b≠1） (5) a^(lg(b)n)=n^(lg(b)a) 证明：
设a=n^x 则a^(lg(b)n)=（n^x）^lg(b)n=n^（x·lg(b)n）=n^lg(b)（n^x）=n^(lg(b)a)
对数与指数之间的关系
当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N (对数恒等式）
对数函数
一般地，函数y=lg(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
（3） 函数图像总是通过（1，0）点。
（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。
（5） 显然对数函数无界。
对数函数的常用简略表达方式：
（1）lg(a)(b)=lg(a)(b)
（2）lg(b)=lg(10)(b)
（3）ln(b)=lg(e)(b)
对数函数的运算性质：
如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
（1）lg(a)(MN)=lg(a)(M)+lg(a)(N);
（2）lg(a)(M/N)=lg(a)(M)-lg(a)(N);
（3）lg(a)(M^n)=nlg(a)(M) （n属于R）
（4）lg(a^k)(M^n)=(n/k)lg(a)(M) （n属于R）
对数与指数之间的关系
当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于lg(a)N
lg(a^k)(M^n)=(n/k)lg(a)(M) （n属于R）
换底公式 （很重要）
lg(a)(N)=lg(b)(N)/lg(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数
lg 常用对数 以10为底
对数函数的常用简略表达方式
（1）常用对数:lg(b)=lg(10)(b)
（2）自然对数:ln(b)=lg(e)(b)
e= 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
性质
定义域：（0，+∞）值域：实数集R
定点：函数图像恒过定点（1，0）。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；

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