高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案设计

《对数函数》巩固练习

1．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　　　　B．a＞c＞b

C．c＞a＞b                  D．c＞b＞a

解析：选B.∵0＜lge＜1，∴lge＞lge＞(lge)2.

∴a＞c＞b.

2．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　)

A．－e                      B．－

C.                          D．e

解析：选C.据题意可得f(x)＝lnx，由于f(x)＝lnx和y＝g(x)的图象关于x轴对称，故由g(a)＝1⇒lna＝－1⇒a＝，故选C.

3．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－)               B．(－，＋∞)

C．(－∞，－)               D．(0，＋∞)

解析：选D.因2x2＋x在(，1)上恒大于1，

∴a＞1，因f(x)的定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－)，函数y＝2x2＋x的单调递增区间为[－，＋∞)，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，选D.

4．函数f(x)＝log(2＋2x－x2)的值域为________．

解析：2＋2x－x2＝－(x－1)2＋3≤3，

∴log(2＋2x－x2)≥log3＝－1.故值域为[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

5.已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．

解析：当x≤0时，3x＋1＞1⇒x＋1＞0，∴－1＜x≤0；

当x＞0时，log2x＞1⇒x＞2，∴x＞2，

综上所述：－1＜x≤0或x＞2.

答案：－1＜x≤0或x＞2

6．若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，求实数a的值．

    解：令h(x)＝ax2＋2x－1，由于函数g(x)＝log3h(x)是递增函数，所以要使函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，应使h(x)＝ax2＋2x－1有最大值3，因此有，解得a＝－，此即为实数a的值．

练习

1．当0<a<1时，函数①y＝a|x|与函数②y＝loga|x|在区间(－∞，0)上的单调性为(　　)

A．都是增函数

B．都是减函数

C．①是增函数，②是减函数

D．①是减函数，②是增函数

解析：选A.①②均为偶函数，且0<a<1，x>0时，y＝a|x|为减函数，y＝loga|x|为减函数，当x<0时，①②均是增函数．

2．(2009年高考广东卷)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　)

A．log2x                   B．logx

C.                       D．x2

解析：选B.y＝ax⇒x＝logay，f(x)＝logax，

a＝loga＝⇒f(x)＝logx.

3．下列命题中不正确的是(　　)

A．logab·logbc·logca＝1

B．函数f(x)＝lnx满足f(a·b)＝f(a)＋f(b)

C．函数f(x)＝lnx满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)

D．若xlog34＝1，则4x＋4－x＝

解析：选C.∵logab·logbc·logca＝··＝1，

∴A选项正确．

又∵f(ab)＝ln(ab)＝lna＋lnb＝f(a)＋f(b)，

∴B选项正确．

又∵xlog34＝1，∴x＝＝log43，

∴4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋3－1＝.

∴D选项也正确．

4．(2009年高考天津卷)设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则(　　)

A．a＜b＜c                B．a＜c＜b

C．b＜c＜a                D．b＜a＜c

解析：选B.a＝log2＝－log32＜0，b＝log＝log23＞1，c＝()0.3,0＜c＜1.

5．已知函数f(x)＝，g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数的图象的交点个数为(　　)

A．1                      B．2

C．3                      D．4

答案：B

6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log2)的值为(　　)

A．－6                    B．－5

C．－                    D．－

解析：选D.由函数f(x)是奇函数，得当x∈(－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1；又f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)知函数f(x)的周期为2，而log2∈(－3，－2)，所以f(log2)＝f(log2＋2)＝f(log2)＝－2－log2＋1＝－＋1＝－，答案为D.

7．已知f(x)＝|log2x|，则f()＋f()＝________.

解析：f()＋f()＝|log2|＋|log2|＝3－log23＋log23－1＝2.

答案：2

8．设0＜a＜1，f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则f(x)＜0的x的取值范围是________．

解析：∵loga(a2x－2ax－2)＜0⇔a2x－2ax－2＞1⇔(ax)2－2ax－3＞0⇔ax＞3⇔x＜loga3.

答案：(－∞，loga3)

9．设a>0，a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．

解析：设t＝lg(x2－2x＋3)＝lg[(x－1)2＋2]．

当x∈R时，tmin＝lg2.

又函数y＝f(x)有最大值，所以0<a<1.

由loga(x2－5x＋7)>0，得0<x2－5x＋7<1，

解得2<x<3.

故不等式解集为{x|2<x<3}．

答案：(2,3)

10．求函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)(a>0，a≠1)的单调区间．

解：当a>1时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，－)．

当0<a<1时，f(x)的增区间为(－∞，－)，减区间为(1，＋∞)．

11．已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．

(1)求m的值；

(2)讨论f(x)的单调性．

解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga＝0对定义域内的任意x恒成立，

∴＝1，∴(m2－1)x2＝0，m＝±1.

当m＝1时，＝－1，函数无意义，∴m＝－1.

(2)由(1)知，f(x)＝loga，∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，求导得f′(x)＝logae.

①当a＞1时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)内都是减函数；

②当0＜a＜1时，f′(x)＞0，

∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是增函数．

12．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2[f(a)]＝2(a≠1)．

(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；

(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)．

解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，

∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b.由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，

∴log2a(log2a－1)＝0.

∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.

又log2[f(a)]＝2，∴f(a)＝4.

∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.

故f(x)＝x2－x＋2.

从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋.

∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.

(2)由题意⇒

⇒0<x<1.