2021学年第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数教案设计

幂函数

　　函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．

　　一、分类讨论的思想

　　例1　已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．

　　解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以．

　　当时，不是偶数；

　　当时，为偶数；

　　当时，为偶数；

　　当时，不是偶数；

　　当时，为偶数；

　　所以n为，1或3．

　　此时，幂函数的解析为或，其图象如图１所示．

　　二、数形结合的思想

　　例2　已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．

　　问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．

　　分析：由幂函数的定义，先求出与的解析式，再利用图象判断即可．

　　解：设，则由题意，得，

　　∴，即．再令，则由题意，得，

　　∴，即．在同一坐标系中作出

与的图象，如图2所示．由图象可知：

　　（1）当或时，；

　　（2）当时，；

　　（3）当且时，．

　　小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．

　　三、转化的数学思想

　　例3　函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（　　）．

　　Ａ．

　　Ｂ．

　　Ｃ．

　　Ｄ．

　　解析：要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且．

　　解得．　故选（Ｂ）

幂函数中的三类讨论题

　　所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．

　　类型一：求参数的取值范围

　　例1　已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．

　　分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．

　　解：∵是偶函数，∴应为偶数．

　　又∵，即，整理，得，∴，∴．

　　又∵，∴或1．

　　当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．

　　故m的值为1，．

　　评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

　　类型二：求解存在性问题

　　例2　已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

　　分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

　　解：∵，则．

　　假设存在实数，使得满足题设条件，

　　设，则

．

　　若，易知，，要使在上是减函数，则应有恒成立．

　　∵，，∴．而，

　　∴.．

　　从而要使恒成立，则有，即．

　　若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立．

　　∵，，

　　∴，而，∴．

　　要使恒成立，则必有，即．

　　综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．

　　评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

　　类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

　　例3　讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况．

　　分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

　　解：（1）当，即或时，为常函数；

　　（2）当时，或，此时函数为常函数；

　　（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；

　　（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（6）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．

　　评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数习题

　　幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．

　　例1　若，试求实数m的取值范围．

　　错解（数形结合）：由图１可知

　　解得　，且．

　　剖析：函数虽然在区间和上分别具有单调性，但在区间上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．

　　正解（分类讨论）：

　　（1）

　　解得；

　　（2）此时无解；

　　（3），  解得．

　　综上可得．

　　现在把例1中的指数换成3看看结果如何．

　　例2　若，试求实数m的取值范围．

　　错解（分类讨论）：由图2知，

　　（1）1， 解得；

　　（2）此时无解；

　　（3），  解得　．

　　综上可得　．

　　剖析：很明显，此解法机械地模仿例１的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．

　　正解（利用单调性）：由于函数在上单调递增，所以，解得．

　　例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对和两个问题与解法进行探究．

　　例3若，试求实数m的取值范围．

　　解：由图3，，解得　．

　　例4　若，试求实数m的取值范围．

　　解析：作出幂函数的图象如图4．由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑时，．于是有，即．

　　又∵幂函数在上单调递增，

　　∴， 解得，或m＞4．

　　上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．

　　解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：

　　（1）当，解法同例1

　　（2）当，解法同例2

　　（3）当，解法同例3

　　（4）当，解法同例4．

　　编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试．