高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案

函数与方程

一、             教学目标

1、   理解二次函数的图像与x轴的交点（函数的零点）和相应的一元二次方程根的关系

2、   学会判别式的运用

3、   掌握函数零点的概念

4、   函数零点存在的充要条件和函数零点的存在性定理

二、             教学重难点、关键

1、   重点：零点的概念及存在性的判定

2、   难点：零点的确定

3、   关键：如何利用函数的图像判定与确定

三、             教学过程

1. 复习引入

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

⑴方程与函数

⑵方程与函数

⑶方程与函数

上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

2. 引申铺垫

上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数同样成立，为此使用判别式来把两者的关系联系起。

3. 分析归纳、自主定义

函数零点的概念

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

⑴函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

⑵函数零点的求法：求函数的零点：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 

⑶二次函数的零点：　．

① △＞０，方程有两不等实根，

二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

② △＝０，方程有两相等实根（二重根），

二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

③ △＜０，方程无实根，

二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

4. 探索

函数零点存在性定理

⑴零点存在性的探索

观察二次函数的图象：

在区间上有零点______；

_______，_______,·_____0（＜或＞）。

在区间上有零点______；·____0（＜或＞）。

观察下面函数的图象

在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）。

在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）。

在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）。

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

⑵零点存在性定理

    如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有·＜0，那么，函数在区间内有零点，

  即存在，使得，这个c也就是方程的根。 

⑶函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。

5. 练习巩固

例1．求函数的零点个数．

问题:①你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

②判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数，并画出它的大致图象．

练习：

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

①；②；

③；④

6. 回顾小结

方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤。

7. 布置作业

四、             教学工具

1. 制作课件的软件：几何画板、authorware、flash；
2. 三角尺等尺规工具。