高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案

函数与方程

【基础知识】

1、函数零点的概念

一般地，如果函数y=在实数a处的函数值等于零，即=0，则a 叫做这个函数的零点．

注：（1）函数的零点指的是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零．

（2）函数的零点也可以理解为一个函数的图象与x轴交点的横坐标．

2、函数的零点与方程根的关系

根据函数零点的定义可知：函数的零点就是方程=0的实数根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程=0是否有实数根，有几个实数根．

3、函数零点的求法：

解方程=0所得实数根就是零点．

4、函数零点的性质

（1）如果函数的图象是连续的，那么当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号．但如果一个二次函数有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号并不改变．

（2）如果函数的图象是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号．

5、一般函数零点的求法——二分法

（1）对于一般函数y=，为了求它的零点，也需要求相应方程=0的实数根，除了少量的特殊的方程可以通过因式分解求方程的根外，其他的方程一般可以用二分法求得方程的近似解，虽然这种方法运算量较大，但它是一种通法，并且在运算中进行的又是大量的重复的计算，所以我们可以编写出一个程序利用计算器或计算机来求出方程的解．

（2）使用二分法的前提条件：如果函数y=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有·<0，那么函数y=在区间（a,b）内有零点，即存在实数，使=0，这个实数就是函数y=的零点．

（3）二分法求零点的基本思想：用二分法求函数的零点，首先应适当选取区间，区间太小，可能找不一零点，而区间太大，又可能包含不止一个零点，假定所给区间恰好能找到函数的一个零点，取该区间的中点，此中点将该区间分为两个小区间，在这两个小区间中必有一个小区间满足这样的条件，使函数在这个小区间的两端的函数值异号，则函数的零点必在这个小区间内，这样就可以将区间缩小一半．利用此方法将区间范围不断缩小，每次缩小一半，保持函数值在区间两端点异号，直到区间长度小于指定的精度要求为止．

（4）二分法求零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=在[a,b]上有几个零点时，只能算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=在[a,b]上有零点，也未必有·<0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围．

（5）二分法求零点的基本步骤：

　　①选定初始区间（a，b），并着手实施二分；

　　②取有根区间（a，b）的中点x0作为近似根；

　　③确定二分后新的有根区间（a1，b1），再取其中点x1作为近似根，…，如此反复二分下去，得到一系列有根区间（a，b），（a1，b1），（a2，b2），…，（ak，bk），…和近似根序列x0，x1，x2，…，xk，…直到满足精度要求为止；

　　④检查近似根是否满足精度要求．

【基础练习】

1．二次函数为偶函数，则此函数的零点为　　　　．

2．若函数的两个零点是，，则的值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

3．已知，是函数（为实数）的两个零点，则的最大值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．不存在

4．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　）

Ａ．a＜1  Ｂ．a＞1         Ｃ．a≤1  Ｄ．a≥1

5．对于函数，若且，则函数在区间内（　　）

Ａ．一定有零点  Ｂ．一定没有零点    Ｃ．可能有两个零点  Ｄ．至多有一个零点

【典型例题】

1．函数零点的讨论

1．如果关于的方程的一根大于但小于，另一根大于但小于，那么实数的取值范围是　　　　　．

2．实数为何值时，函数的两个零点满足一个大于，一个小于？

3．下列说法正确的个数是（　　）

①当时，二次函数有两个零点；②函数的零点即函数的图象与x轴的公共点；③对任意函数，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；④函数的零点为0，，．

Ａ．1个  Ｂ．2个  Ｃ．3个  Ｄ．4个

4．对于任意定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是　　　　　．

5．一元二次方程的根与相应二次函数的零点之间的关系为　　　　　．

2、一般函数零点的求法——二分法

1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）

2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间上，则当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（　　）

Ａ．12ε  Ｂ．14ε  Ｃ．  Ｄ．2ε

3．函数在区间［3，5］上（　　）

Ａ．没有零点  Ｂ．有一个零点     Ｃ．有两个零点  Ｄ．无数个零点

4．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．

5．若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？

6．用二分法求方程x3＋4x2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）

参考答案：

【基础练习】

1．二次函数为偶函数，则此函数的零点为　　　　．

答案：．

2．若函数的两个零点是，，则的值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｂ．

3．已知，是函数（为实数）的两个零点，则的最大值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．不存在

答案：Ａ．

4．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　）

Ａ．a＜1  Ｂ．a＞1         Ｃ．a≤1  Ｄ．a≥1

答案：Ｂ

5．对于函数，若且，则函数在区间内（　　）

Ａ．一定有零点  Ｂ．一定没有零点    Ｃ．可能有两个零点  Ｄ．至多有一个零点

答案：Ｃ

【典型例题】

1．函数零点的讨论

1．如果关于的方程的一根大于但小于，另一根大于但小于，那么实数的取值范围是　　　　　．

答案：．

2．实数为何值时，函数的两个零点满足一个大于，一个小于？

答案：解：由二次函数的图象可知：，

，

，．

3．下列说法正确的个数是（　　）

①当时，二次函数有两个零点；②函数的零点即函数的图象与x轴的公共点；③对任意函数，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；④函数的零点为0，，．

Ａ．1个  Ｂ．2个  Ｃ．3个  Ｄ．4个

答案：B

4．对于任意定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是　　　　　．

答案：．

5．一元二次方程的根与相应二次函数的零点之间的关系为　　　　　．

答案：设，有：（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点，相应的二次函数有两个零点；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根，相应的二次函数图象与x轴有惟一的交点，相应的二次函数有一个二重的零点；（3）Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，相应的二次函数无零点.

2、一般函数零点的求法——二分法

1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）

　　答案：B

2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间上，则当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（　　）

Ａ．12ε  Ｂ．14ε  Ｃ．  Ｄ．2ε

答案：C

3．函数在区间［3，5］上（　　）

Ａ．没有零点  Ｂ．有一个零点     Ｃ．有两个零点  Ｄ．无数个零点

答案：Ｂ

4．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．

　　答案：[2，2.5]

5．若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？

解：令．

在内恰有一解，

，即，

．

6．用二分法求方程x3＋4x2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）

答案：1.3652296066284186．