高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用教案

1．(2011年福州高三质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)

A．6　　　　　　　　　　　 B．5

C．4   D．3

解析：选A.根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.

2．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．直线

C．圆   D．线段

解析：选D.虽然动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数4，由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.

3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4   B．5

C．7   D．8

解析：选D.由题意，得m－2>10－m>0，于是6<m<10，再由(m－2)－(10－m)＝2，得m＝8.

4．已知椭圆ax2＋by2＋ab＝0(a<b<0)，其焦点坐标为________．

解析：由ax2＋by2＋ab＝0，得＋＝1，因为a<b<0，所以－a>－b>0.所以椭圆的焦点在y轴上，c2＝－a＋b，c＝±，故焦点坐标为(0，±)．

答案：(0，±)

一、选择题

1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1　　　　　　　 B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋x2＝1

解析：选A.c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

∴椭圆的方程为＋＝1.

2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)

A．20   B．12

C．10   D．6

解析：选A.∵AB过F1，

∴由椭圆定义知

∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.

3．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5   B．6

C．7   D．8

解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.

4．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C．x2＋＝1   D.＋＝1

解析：选D.由题意知a2－2＝4，∴a2＝6.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

5．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1或＋＝1

C.＋y2＝1   D.＋y2＝1或x2＋＝1

解析：选D.b2＝a2－c2＝1，分焦点在x轴上或y轴上两种情况，故答案有2个，即＋y2＝1或x2＋＝1，且这两个椭圆的形状完全相同．

6．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选B.S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，

又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

二、填空题

7．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．

解析：∵2a＝8，∴a＝4，

∵2c＝2，∴c＝，∴b2＝1.

即椭圆的标准方程为＋x2＝1.

答案：＋x2＝1

8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.

解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，＝＝＝.

答案：

9．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

解析：由题意知解得3<k<5且k≠4.

答案：3<k<5且k≠4

三、解答题

10．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.

(1)求M的横坐标；

(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．

解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.

∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.

(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)，

把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.

故所求椭圆的方程为＋＝1.

11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．

∵F1A⊥F2A，∴·＝0，

而＝(－4＋c,3)，

＝(－4－c,3)，

∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，

∴c2＝25，即c＝5.

∴F1(－5,0)，F2(5,0)．

∴2a＝|AF1|＋|AF2|

＝ ＋

＝＋＝4.

∴a＝2，

∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

12．已知P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点．

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；

(2)求|PF1|2＋|PF2|2的最小值；

(3)求∠F1PF2的最大值．

解：

如图，由题意知，F1(－，0)，

F2(，0)．

设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>0，n>0)，

由椭圆的定义，知m＋n＝4.

(1)根据基本不等式知mn≤()2＝()2＝4，当且仅当m＝n＝2时，等号成立，此时P位于短轴的端点处．

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)因为m2＋n2≥2mn，

所以2(m2＋n2)≥m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2.

故m2＋n2≥＝8，

当且仅当m＝n＝2时，等号成立．

|PF1|2＋|PF2|2的最小值是8，此时P位于短轴的端点处．

(3)在△F1PF2中，根据余弦定理得

cos∠F1PF2＝

＝

＝＝－1.

根据(1)可知0<mn≤4，故≥，

所以cos∠F1PF2≥－1＝－(m＝n时等号成立)．

因为f(x)＝cosx在区间(0，π)上是单调递减函数，

所以当cos∠F1PF2取得最小值－时，∠F1PF2取得最大值.