2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2：6.1.1知能演练轻松闯关教案

1.(2012·秀山检测)给出下列推理：

①由A，B为两个不同的定点，动点P满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线；

②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式；

③由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为S＝abπ；

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

其中是归纳推理的命题个数为(　　)

A．0　　　　　　　 B．1

C．2      D．3

解析：选B.由题意知只有②是归纳推理．

2.已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于(　　)

A．2n      B.n(n＋1)

C．2n－1     D．2n－1

解析：选C.a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….

猜想当n≥1时，an＝2n－1.

3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)

A．f(x)     B．－f(x)

C．g(x)     D．－g(x)

解析：选D.通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D.

4.(2011·高考陕西卷改编)观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为________．

解析：由于1＝12，2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.

答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81

一、选择题

1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)

A.    B.

C.     D.

解析：选B.∵a1＝1，S2＝a1＋a2＝22·a2，∴3a2＝a1，∴a2＝；

由S3＝a1＋a2＋a3＝32·a3，∴8a3＝，∴a3＝；

由S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，

∴15a4＝，∴a4＝.

归纳得，an＝，故选B.

2.(2012·云阳质检)设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N＋)，则f2012(x)＝(　　)

A．sinx     B．－sinx

C．cosx     D．－cosx

解析：选C.由条件知f0(x)＝cosx，

f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，

f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，

故函数f(x)以4为周期循环出现，故f2012(x)＝cosx.

3.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．

试求第七个三角形数是(　　)

A．27      B．28

C．29      D．30

解析：选B.第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.

4.n个连续自然数按规律排成下表

01234567891011…

根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次为(　　)

A．↓→     B．→↑

C．↑→     D．→↓

解析：选C.观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2010到2012为↑→.

5.(2012·涪陵检测)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij(i，j∈N＋)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2012，则i与j的和为(　　)

A．75      B．76

C．77      D．78

解析：选D.由三角形数表可以看出，其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2012＝2×1005＋2，所以2012为第1006个偶数，又前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056，故2012在第32个偶数行内，所以i＝64；因为第64行的第一个数为2×993＝1986，2012＝1986＋2(j－1)，所以j＝14.

∴i＋j＝78.

6.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)

A．289     B．1024

C．1225     D．1378

解析：选C.设图(1)中数列1，3，6，10，…的通项为an，则a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，

an－an－1＝n.

∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝(n≥2)．

当n＝1时，有a1＝＝1，

∴an＝.

图(2)中数列1，4，9，16，…的通项为：bn＝n2.

故所给四个选项中只有1225满足

a49＝＝b35＝352＝1225.

故选C.

二、填空题

7.(2012·高考陕西卷)观察下列不等式：

1＋＜，

1＋＋＜，

1＋＋＋＜，

……

照此规律，第五个不等式为________．

解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.

答案：1＋＋＋＋＋＜

8.(2011·高考山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝，

f2(x)＝f(f1(x))＝，

f3(x)＝f(f2(x))＝，

f4 (x)＝f(f3(x))＝，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．

解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2，4，8，16，…，故其通项公式为bn＝2n.

所以当n∈N＋且n≥2时，

fn(x)＝f(fn－1(x))＝.

答案：

9.观察下列等式：

①cos 2α＝2cos2α－1；

②cos 4α＝8cos4 α－8cos2 α＋1；

③cos 6α＝32cos6 α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.

可以推测，m－n＋p＝________．

解析：观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.

对于等式⑤，令α＝60°，则有

cos 600°＝512·－1280·＋1120·＋n＋p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，

联立方程组得

∴m－n＋p＝962.

答案：962

三、解答题

10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．

解：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，

∴＋Sn－1＋2＝0.

当n＝1时，S1＝a1＝－；

当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－；

当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；

当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.

猜想：Sn＝－(n∈N＋)．

.设n∈N＋且sin x＋cos x＝－1，求sinnx＋cosnx的值．(先观察n＝1，2，3，4时的值，归纳猜测sinnx＋cosnx的值．)

解：当n＝1时，sin x＋cos x＝－1；

当n＝2时，有sin2x＋cos2x＝1；

当n＝3时，有sin3x＋cos3x＝(sin x＋cos x)(sin2x＋cos2x－sin xcos x)，

而sin x＋cos x＝－1，∴1＋2sin xcos x＝1，

∴sin xcos x＝0.∴sin3x＋cos3x＝－1.

当n＝4时，有sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1.

由以上可以猜测，当n∈N＋时，可能有

sinnx＋cosnx＝(－1)n成立．

.(创新题)设{an}是集合{2t＋2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：

　　　　　　　　　　3

　　　　　　　　　5　6

　　　　　　　　9　10　12

　　　　　　　－　－　－　－

　　　　　　－　－　－　－　－

　　　　　　　　　　……

(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；

(2)求a100.

解：(1)将前三行各数分别写成2t＋2s的形式：

第1行：3＝21＋20；

第2行：5＝22＋20，6＝22＋21；

第3行：9＝23＋20，10＝23＋21，12＝23＋22；

由此归纳猜想：

第4行：24＋20，24＋21，24＋22，24＋23；

第5行：25＋20，25＋21，25＋22，25＋23，25＋24.

经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；

第5行各数依次是：33，34，36，40，48.

(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数．

因此，a100应当是第14行中的第9个数．

所以a100＝214＋28＝16640.