2020-2021学年3.4.1 函数与方程教案

函数与方程

教学目标：

（一）            知识目标：

1、掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系；

2、理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系；

3、掌握零点存在的判定条件，利用零点作函数的图像。

（二）            能力目标：

1、通过对二次函数与二次方程两者之间联系的理解，培养学生运用数形结合思想的能力；

2、通过本节课的学习，培养学生的抽象概括能力。

（三）            情感目标：

1、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，激发学生学习的兴趣；

2、通过对零点的概念的概括，让学生体会到成功的乐趣。

重点难点：

重难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题；零点的确定

难点：培养学生的抽象概括能力

教学方法：

自主学习、思考、交流、讨论和概括

教学过程：

（一）            新课引入：

1、    提出问题：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？

2、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

①方程与函数    

②方程与函数     

③方程与函数    

学生分别画出三个函数的图像：

3、分析当时二次方程的实数根与二次函数图象和轴交点坐标之间的关系。推广到一般的一元二次方程情形如何？

（二）            新课探究：

1、函数零点的概念：使函数的值为0的实数叫做函数 的零点（zeropoint）。

2、提问：方程的根、函数的零点、函数的图像与x轴交点横坐标之间的关系如何？

结论：

函数零点的意义：方程的根函数的零点，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、如何求函数的零点？

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察刚刚画出的二次函数的图象：

1）在区间上有零点___；_，_,则·___0（＜或＞＝）．

2）在区间上有零点___；·____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数的图象          

1) 在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞＝）．

2)在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．

3)在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．

5、①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？（怎样断定函数在某给定区间上是否存在零点？）②分析函数在区间端点上的函数值的符号情况

结论：

零点存在定理：若函数在区间上的图像是一条不间断的曲线，且，则函数在区间上有零点。

（三）            例题训练：

例 求证：函数在区间上存在零点，并且画出函数的大致图像。

引导学生探索判断函数零点的方法，结合零点所在区间端点的函数值符号画出大致图象。

证：因为

且函数的图像在区间上的图像是不间断的，所以函数的图像在区间上的图像是不间断的，所以函数在区间上存在零点。

（四）            随堂练习:

求函数f (x)=㏑x＋2x －6的零点个数。

问题：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）如何判断函数的单调性?

（五）            小结提炼：

1、函数零点的概念以及抽象出概念的方法

2、函数零点的求法（零点存在定理）

3、掌握数形结合的思想

（六）            布置作业：

1、思考：（1）如果是二次函数的零点，且，那么一定成立吗？为什么？（2）我们在前面的章节中利用对数求出了方程的近似解，那么用函数图像能求出这个方程的近似解吗？用什么方法能求出方程的近似解？

2、书本P76     1、2

3、补充：方程在内恰有一解，则取值范围是____

（七）            板书设计：