高中数学苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用教学设计

必修1                

函数模型及其应用

重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．

考纲要求：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；

②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

经典例题：1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿．

当堂练习：

1．某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（    ）

A．8   　　　　　 　B．112 　　　　　　 C．58    　　　　　　D．18

2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（    ）

A．多赚5.92元    　　　B．少赚5.92元   　　　C．多赚28.92元  　　　D．盈利相同

3．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（    ）件(即生产多少件以上自产合算)

A．1000           　　　 B．1200            　 C．1400             　 D．1600

4．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．

 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （    ）

A．y=a+bX     　　　　　  B．y=a+bx     　　　 C．y=a+logbx   　　　　  D．y=a+b/x

5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（    ）

A．100台       　　B．120台        　C．150台       　　 D．180台

6．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．    

7．某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。试求y与x之间的关系式               ．

在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为          时，才能时每月获得最大利润．

每月的最大利润是    　　 ．　

8．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入         　　 广告费,才能获得最大的广告效应．

9．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数      　　  时, 按（2）方法更省钱．

10．一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是         　　  ．

11．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．

12．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．

13．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元， 统计其销售数量为b个．

(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．

(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．

14．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．

§2.6函数模型及其应用

经典例题：解：设x年后我国人口总数为y，则有y=12·（1+0.0125）x，依题意，得y＞14，

即12·（1+0.0125）x＞14，即（1+0.0125）x＞．

两边取对数，得xlg1.0125＞lg14－lg12.所以x＞≈12.4．

答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．

当堂练习：

1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大于34; 10. 600;

11. (1)依题得，

(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．

12.设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，y=kx+b，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24.              由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W节车厢，则W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144，

∴当x=6时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运15840人． 

13.解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=［－kx2+100(1－k)x+10000］.   (1)取k=，y=［－x2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上涨50%时， y最大为ab.                            (2)因为y=［－kx2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大.所以＞0，解之0＜k＜1．                                         

14.设二次函数为y=px2+qx+r，则,

所以,当x=4时, y=1.3;

 对于函数,由,所以,当x=4时, y=1.35,显然,用函数作为模拟函数较好．