人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案设计

椭圆及其标准方程

一．  学习目标：

1.理解并掌握椭圆的定义；

2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程；

3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.

二、学习重点与难点

重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想

难点：运用椭圆的定义与其标准方程解决问题

三、学习过程分析

1、椭圆定义的回顾

椭圆定义中，平面内动点与两个定点F1,F2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当这个常数小于|F1F2|时，动点不存在.

2、椭圆的标准方程

当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且　　　　　　；

　当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且

3、典型例题

例1、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|P F1|：|P F2|＝4：3，求P F1F2的面积。

[分析] 由椭圆方程可求出2a与2c，且由|P F1|：|P F2|＝4：3知可求出|P F1|，|P F2|的长度，从而可求三角形的面积。

［解］由于|P F1|＋|P F2|＝7，且|P F1|：|P F2|＝4：3，得|P F1|＝4，|P F2|＝3，又| F1F2|＝2c＝，显然|P F1|2 ＋|P F2|2＝| F1F2|2，所以P F1F2是以P F1，P F2为直角边的直角三角形，从而所求P F1F2的面积为S＝|P F1||P F2|＝43＝6.

［变式训练］：已知点A(3,0)，B(－2,1)是椭圆 内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

例2、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。.

[分析]方法：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况，应用椭圆的定义。

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|P F1|=，|P F2|=

由椭圆的定义知2a=|P F1|+|P F2|=,即，由|P F1|＞|P F2|知P F2垂直于长轴。所以在中，4c2=|P F1|2 －|P F2|2=,所以c2=，于是b2=a2－c2=

又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为或.

［变式训练］已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6， 0）。求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程。

例3、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.

解（1）   （2）

［变式训练］求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；

(2)经过点，且与椭圆具有共同的焦

一课一练

一、选择题（6分4）

1．已知焦点坐标为(0，－4)、(0，4)，且过点(0，－6)的椭圆方程为(    )

A． B．     C． D．

2．过点与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程为(    )

A． B．     C． D．

3．椭圆的焦距是2，则m的值为(    )

A．5 B．3               C．5或3            D．20

4．椭圆的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么｜PF1｜∶｜PF2｜的值为(    )

A．7∶1 B．5∶1           C．9∶2 D．8∶3

二、填空题（8分5）

5．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______

______________________．

6．椭圆的焦点坐标是____________．

 7．经过的椭圆的标准方程是____________．

8．若椭圆两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，且三角形PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆方程是__________________．

9．已知三角形ABC的周长是8，B、C两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)，则顶点A的轨迹方程为__________________．

三、解答题（共3题，36分）

10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：y＝x－2的距离为，求此椭圆方程．

11．如图，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，三角形POF2是面积为的正三角形，求此椭圆方程．

12．圆P经过点B(0，3)且与圆A：x2＋(y＋3)2＝100内切，求圆心P的轨迹方程．