人教版新课标A必修52.2 等差数列教案及反思

第2章   2.2   第2课时

等差数列的性质

一、选择题

1．(2010·大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋……＋a7＝(　　)

A．14   B．21

C．28   D．35

[答案]　C

[解析]　∵{an}是等差数列，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.

∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.

2．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于(　　)

A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D.

[答案]　D

[解析]　∵x，a1，a2，y成等差数列，

∴a1－a2＝－d＝－.

∵x，b1，b2，b3，y成等差数列，

∴b1－b2＝－d′＝－.

∴＝.

3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)

A．a1＋a101>0   B．a2＋a100<0

C．a3＋a100≤0   D．a51＝0

[答案]　D

[解析]　由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝51a51＝0，

∴a51＝0.

4．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)

A．30  B．27  C．24  D．21

[答案]　B

[解析]　b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，∵{an}成等差数列，∴b1，b2，b3成等差数列，∴a3＋a6＋a9＝b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.

5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于(　　)

A．15  B．30  C．31  D．64

[答案]　A

[解析]　a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.

在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，

所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.

6．在等差数列{an}中，am＝n，an＝m(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n为(　　)

A．m－n  B．0  C．m2  D．n2

[答案]　B

[解析]　∵{an}是等差数列，

∴设公差为d，

则an－am＝(n－m)d＝m－n，

∴d＝－1.

∴am＋n＝am＋md＝n＋nd＝n－n＝0.

二、填空题

7．(2011·重庆理)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.

[答案]　74

[解析]　a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.

8．等差数列{an}中，公差为，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝________.

[答案]　85

[解析]　由等差数列的定义知a2＋a4＋a6＋…＋a100

＝a1＋a3＋a5＋…＋a99＋50d＝60＋25＝85.

三、解答题

9．已知数列{an}满足(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，且a1＝1，an>0.

(1)求证：数列{a}为等差数列；(2)求an.

[解析]　(1)由(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，

得a－a＝16，

∴数列{a}构成以a＝1为首项，以16为公差的等差数列；

(2)由(1)知

a＝1＋(n－1)×16＝16n－15，

又an>0，∴an＝.

10．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供的两个不同的信息表如下图所示：

甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只鸡．

乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息：

(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；

(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；

(3)哪一年的规模最大？请说明理由．

[解析]　(1)设第n年每个养鸡场饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由图知{an}、{bn}均为等差数列且1≤n≤6，

a1＝1，a6＝2，∴an＝0.2n＋0.8，

b1＝30，b6＝10，∴bn＝－4n＋34，

∴a2＝0.2×2＋0.8＝1.2，

b2＝－4×2＋34＝26，

a2b2＝1.2×26＝31.2(万只)．

∴第2年有养鸡场26个，饲养鸡31.2万只．

(2)a1b1＝1×30＝30(万只)，a6b6＝2×10＝20(万只)．

∵a6b6<a1b1，

∴第6年养鸡业规模比第1年缩小了．

(3)每年出产鸡的只数为

y＝an·bn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)

＝(－2n2＋9n＋68)

＝－(n－)2＋(1≤n≤6)，

∴当n＝2时，y有最大值．

即第2年规模最大，共生产鸡31.2万只．

能力提升

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　)

A．14  B．15  C．16  D．17

[答案]　C

[解析]　由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，

∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.

2．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

[答案]　D

[解析]　设方程x2－x＋a＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝1，设x2－x＋b＝0的两根为x3和x4，

则x3＋x4＝1.

不妨设x1＝，则x2＝，故由x1x2＝a得a＝，公差d＝＝，∴x3＝＋＝，x4＝＋＝，∴b＝x3x4＝，∴a＋b＝.

二、填空题

3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.

[答案]　105

[解析]　由题意，设数列{an}的公差d＞0，

则，求得d＝3

故a11＋a12＋a13＝a1＋a2＋a3＋30d＝15＋30×3＝105.

4．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．

[答案]　4,6,8或8,6,4

[解析]　设这三个数为a－d，a，a＋d，则

，

∴.∴三数为4,6,8或8,6,4.

三、解答题

5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝1，且

(n≥2)，若cn＝an＋bn，

(1)证明数列{cn}是等差数列；

(2)求数列{cn}的通项公式．

[解析]　(1)∵an＝an－1＋bn－1＋1

bn＝an－1＋bn－1＋1(n≥2)，

∴an＋bn＝an－1＋bn－1＋2，

∴cn＝an＋bn，∴cn－1＝an－1＋bn－1，

∴cn－cn－1＝2(n≥2)，

∴数列{cn}是以c1＝a1＋b1＝3为首项，以2为公差的等差数列．

(2)由(1)知cn＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.

6．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销；买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．

[解析]　设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．

an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，

解不等式an≥440即800－20n≥440，得n≥18.

当购买台数小于18台时，每台售价为800－20n，在台数大于等于18台时，每台售价为440元．

到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．

作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，

当n<10时，600n<(800－20n)n，

当n＝10时，600n＝(800－20n)n，

当10<n≤18时(800－20n)n<600n，

当n>18时，440n<660n.

答：当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．

7．是否存在数列{an}，同时满足下列条件？

①{an}是等差数列，且公差不为零；

②数列{}也是等差数列．

若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由．

[解析]　设符合条件的数列{an}存在，则

an＋an＋2＝2an＋1，且＋＝.

即(an＋an＋2)＝4.

所以(an＋an＋2)2＝4anan＋2.

故(an－an＋2)2＝0，故an＝an＋2.

这与公差不为0矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}.