人教版新课标A必修52.4 等比数列教案

第2章   2.3   第1课时

等比数列的概念及通项公式

一、选择题

1．公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为(　　)

A．－4   B．－

C.   D．4

[答案]　D

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，由题意知d≠0，

且a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，

化简，得a1＝－d.

∴a2＝a1＋d＝－d＋d＝d，

a3＝a2＋d＝d＋d＝d，

∴＝4，故选D.

2．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．0或2

[答案]　B

[解析]　由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0，

∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，故选B.

3．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于(　　)

A．48   B．72

C．144   D．192

[答案]　D

[解析]　设公比为q，则a6·a7·a8＝a5·a6·a7·q3，

∴q3＝＝8.

又a7·a8·a9＝a6·a7·a8·q3＝24×8＝192.

4．(2010·全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)

A．5   B．7

C．6   D．4

[答案]　A

[解析]　由等比数列的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a＝5，

a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50，

所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a＝()3＝(50)3＝5.

5．(2011·福州高二检测)等比数列{an}的各项为正数，公比为q，若q2＝4，则的值为(　　)

A.   B．±

C．2   D．±2

[答案]　A

[解析]　由q2＝4得q＝±2，

因为数列{an}各项为正数，所以q＝2，

又因为a4＝a3q，a5＝a4q，

∴a4＋a5＝a3q＋a1q＝(a3＋a4)q，

∴＝＝.

6．(2011·沈阳高二检测)已知等比数列{an}，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝80，则a5＋a6等于(　　)

A．480   B．320

C．240   D．120

[答案]　B

[解析]　∵a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)·(a5＋a6)，即802＝20·(a5＋a6)．∴a5＋a6＝320，故选B.

二、填空题

7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.

[答案]　18

[解析]　由题意得a4＋a5＝2，a4a5＝，∵q>1，∴a5>a4，解得a4＝，a5＝，∴q＝3，∴a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18.

8．若a1，a2，a3，a4，a5为等比数列，其公比为2，则＝________.

[答案]　

[解析]　由已知：a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝8a2，

∴＝＝＝.

三、解答题

9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．

[解析]　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.

a2＝＝，a4＝a3q＝2q，

又∵＋2q＝，

解得q＝或q＝3.

当q＝时，a1＝18，

∴an＝18×()n－1＝2×33－n；

当q＝3时，a1＝，

∴an＝×3n－1＝2×3n－3.

10．(2011·宿州高二检测)已知数列{an}是等比数列，首项a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}是等差数列，且b3＝a3，b5＝a5，求数列{bn}的通项公式及前n项的和．

[解析]　(1)因为数列{an}是等比数列且a1＝2，a4＝16，

所以q3＝＝＝8，故q＝2.

数列{an}的通项公式为：an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.

(2)由(1)知：b3＝a3＝23＝8，b5＝a5＝25＝32，

而数列{bn}是等差数列，故数列{bn}的公差d＝＝＝12.

所以{bn}的递项公式bn＝b3＋(n－3)d

＝8＋(n－3)·12

即bn＝12n－28(n∈N＋)，又b1＝－16，所以其前n项的和

Sn＝＝6n2－22n.

能力提升

一、选择题

1．(2010·江西文)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　)

A．(－2)n－1   B．－(－2)n－1

C．(－2)n   D．－(－2)n

[答案]　A

[解析]　由a5＝－8a2，a5>a2知a1>0，根据a5＝－8a2有a1q4＝－8a1q得q＝－2.所以an＝(－2)n－1.

2．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)

A．18   B．24

C．60   D．90

[答案]　C

[解析]　由a＝a3·a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋3d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，

又∵S8＝8a1＋28d＝32，

∴a1＝－3，d＝2，

∴Sn＝10a1＋45d＝60.

故选C.

二、填空题

3．已知a、b、c成等差数列，且a、c、b成等比数列，则a:b:c＝________.(其中a、b、c不相等)．

[答案]　4:1:(－2)

[解析]　由已知，得

由①，得a＝2b－c，代入②得2b2－bc－c2＝0，解得b＝－c，或(b＝c舍去)．

∴c＝－2b.∴a＝2b－c＝4b.

∴a:b:c＝4b:b:(－2b)＝4:1:(－2)．

4．已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q＝________.

[答案]　

[解析]　设该正项等比数列为{an}，公比为q，由题意，得

an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，

∴q2＋q－1＝0，∵q>0，∴q＝.

三、解答题

5．(2010·全国Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.

[解析]　设数列{an}的公差为d，依题设有

，

即，

解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4，

因此Sn＝n(3n－1)，或Sn＝2n(5－n)．

6．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．

[解析]　设四个数依次为a－d，a，a＋d，，依题意，得

，

解得a＝4或9.

当a＝4时，d＝4，这四个数依次为0,4,8,16.

当a＝9时，d＝－6，这四个数为15,9,3,1.

∴这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

7．设数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3…)．

求证：数列{}是等比数列．

[解析]　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn.

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，

整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn.

∴＝2.

故{}是以2为公比的等比数列．

8．(2011·江西)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.

(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}唯一，求a的值．

[解析]　(1)设{an}的公比为q，则

b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，

由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)

即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－

所以{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1

或an＝(2－)n－1.

(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)

由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根．

由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.