人教版新课标B必修42.4.1向量在几何中的应用教案设计
展开向量在几何中的应用
（一） 教学目标
1.知识与技能：
运用向量的有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。
2.过程与方法：
通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法——向量法和坐标法。
3.情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神。
（二） 教学重点、难点
重点：用向量知识解决平面几何问题。
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。
教学环 节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
复习引入 |
| 教师提问，学生回答。 | 让学生回顾学过的知识，有利于本节课的顺利进行。 |
应
用
举
例 | 1.如教材中图，已知平行四边形ABCD，且E,F在对角线BD上，且
小结：本题的关键是选取适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来。 | 问题1.证明AECF是平行四边形，你打算如何来证明它？ 学生思考，回答。 问题2.将问题地证明转化为向量表达，如何寻找切入点？ 启发学生思考，回答，并完成证明过程。 题3 证明过程中运用了哪些向量知识？ 问题4 与初中平面几何的推证比较，向量法证明的优势有哪些？ 让学生总结解题方法。 | 通过教师分步设问，引导学生展示思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法。 |
2.求证平行四边形对角线互相平分。
小结：本题选取基底设未知数，列向量方程，解方程组得到结论，体现了方程思想在向量解题中的运用。 | 问题 .如何证明点M为中点？学生思考、回答？ 教师点评学生思路：（1）要证两对角线互相平分，可以证,但本题关系不确定，此法不易操作。 （2）如果能证明 问题就可解决，请大家用此法思考如何证明。 学生讨论，师生交流，共同完成证明过程。 | 本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，指出方法，进一步引导学生再去探讨，体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。 进一步体会将几何问题用向量法证明所体现的数形结合的思想。 |
（三） 教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。教学中，教师创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。
（四） 教学过程
课堂练 习 | 教材练习A, 1 | 学生完成 | 巩固所学方法 |
应用举例 | 例3．已知正方形ABCD,P为对角线AC上任一点， 连DP,EF,求证：DPEF.
小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标法解决几何问题，体现几何问题代数化的特点。 常采用坐标法的题目，往往存在互相垂直的关系，且坐标易写出，如正方形、长方形、直角三角形等。 | 问题1 本题几何图形比较特殊，让同学结合图形特点考虑采用那种方法简便一些。 学生回答，师生交流。
问题2 能否用坐标法完成题目证明？ 学生独立完成。 | 本题用向量的坐标法证明比较简单，因此选定方法是难点，确定方法后学生可以独立完成。 |
课堂练习 | 教材练习A, 2 | 学生完成，教师指导。 | 进一步巩固所学方法。 |
应用举例 | 例4 求通过点A（－1，2），且平行于向量 的直线方程。
小结：结合图形中的特点，利用向量平行的充要条件，求得坐标形式下的直线方程。体现向量知识的形数结合的本质特征。 讨论：，加深方向向量与斜率、倾角等概念的关系理解。 | 问题1 方向向量与直线平行的条件如何运用？如何才能转化成向量与向量的平行并加以利用？ 问题2 坐标形式的条件下，解题应尽量以坐标形式来求解。 学生独立完成。 | 如何实现向量与向量平行的表达，设出任意点P（x,y）是关键。让学生认识并理解这个切入点后，此类问题的解决就得心应手了。 |
课堂练习 | 教材练习A 3 （1）、（2）（3）（4） | 学生完成，教师指导。 | 进一步巩固所学方法。 |
应用举例 | 例5 已知直线L:Ax+By+C=0, ,求证：向量
小结：直线一般方程Ax+By+C=0中，变量x, y的系数，构成向量（A,B）的几何解释为向量（A,B）与直线Ax+By+C=0垂直；构成向量（－B,A）的几何解释为向量（-B,A）与直线Ax+By+C=0平行。 这样，直线间的平行、垂直、夹角等位置关系问题，就可方便地转化为向量问题来处理。 此处引出直线的法向量的概念。 | 问题1 可否转化成两向量垂直的证明？ 问题2 由直线转化成向量的关键在哪里？如何实现？
教师启发引导下完成证明。 | 认识如何实现向量与向量平行的表达，理解本题的证明表述形式。 明确由数化形的思路，体会证明中“设而不求”的方法。
|
例6 求通过A(2,1),且与直线l: 4x-3y+9=0平行的直线方程。
小结：利用例5的结论用向量知识解决解析几何问题。 | 问题：对比、联系例5的 结论，启发学生提出解题方法 | 重视结论的迁移应用，强化向量法解证解析几何题的常见方法。 | |
课堂练习 | 教材练习B 3 | 学生完成，教师指导。 | 进一步巩固所学方法。 |
归纳小结 | （1） 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和解析几何问题。 （2） 掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题和解析几何问题的步骤、方法。 （3） 进一步理解向量是沟通代数、几何等知识，实现数形结合的有力的工具。 | 师生交流，共同完成。 | 帮助学生总结知识，归纳方法。 |
布置作业 | 教材练习B, 1， 2, | 学生独立完成。 | 巩固所学方法，规范解题步骤。 |
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