2020-2021学年第三章 三角恒等变换3.3 三角函数的积化和差与和差化积教学设计

提出

问题

通过做过的作业，习题3－1A 2(2)的结果，对两个角的正弦之和的形式进行讨论

师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？

引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。

师：通过类比，对任意两个角，应该等于什么？运用已知的公式加以推导验证。

从做过的练习出发，引导学生进一步思考，培养学生从特殊到一般的思想方法。

解决

问题

由两角和与差的三角函数公式，使用换元法得到两角的正弦之和可化成另两个角的三角函数的乘积的形式。

两式相加得：

　(1)

设，，则，，公式(1)可以写成：

培养学生运用已有知识分析问题的能力和问题探究的能力，体会换元思想在解题中的应用。

总结

方法

提出

新问

题

总结推导过程所用的方法，实际上公式（1）还隐含着积化和差的公式。

师：公式(1)实际上还可以变形成

两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意两个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明。

培养学生经常对方法进行总结和运用类比，在一个问题的基础上提出新的问题的能力。

积化

和差

公式

的推

导

推导积化和差公式。

回忆两角和与差的三角函数公式：

由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，写出所有的积化和差的公式：

师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特点是化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公式前面的系数。

巩固旧知识，通过恒等变形，培养学生严谨地考虑问题。

积化

和差

公式

的应

用

例1　把下列各积化成和差的形式。

(1)

(2)

(3)

(4)

学生做练习教师巡视检查。

让学生初步学会应用公式。

和差化积公式的推导

推导和差化积公式

由积化和差公式，变形可以得到：

，

再通过换元，请学生自行整理和差化积公式。

师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了换元法进行角的转化。

通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。

和差化积公式的应用

例2 把下列各式化成积的形式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

例3 已知A＋B＋C＝180，求证：

利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。

在投影仪上，将例1与练习A的第1,3题，打出来，让学生做，教师巡视检查完成情况，并订正。

提醒学生注意，化积问题的结果必须是几个三角函数的积的形式。

例1和练习A的第1,3题是和差化积公式的直接应用，注意化积后是几个三角函数的积。

例2是一道典型的综合性问题，对于它的解题过程的深入探讨，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。

巩固

练习

练习

1．把下列各式化成积的形式

（1）

（2）

2．求证下列各恒等式

（1）

练习1和2的第（1）小题先做示范讲解，让学生独立完成第（2）小题。再次提醒学生，化成积的时候一定要写成几个三角函数的积的形式。

练习1的两道化积题，学生可能比较难想到要将常数化成某个特殊角的三角函数，对于它们的解题过程的思考有助于学生开阔思维，培养学生灵活运用知识的能力。

小结

从知识、方法两个方面来对本节课进行归纳总结。

（1）本节重点学习了两组公式，不要求记住这两组公式，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决求值、化简和证明等问题。

（2）化积的问题注意最后结果的形式要写成几个三角函数的积的形式。

（3）推导公式的过程中用了换元法，这是一种很常用的方法，要注意该方法在解题中的应用。

让学生明确本节课的重点和要达到的要求。

布置

作业

习题3－3A　2,3，4

对本节内容及时巩固。