2021学年2.2.3两条直线的位置关系教案及反思

两条直线的位置关系

平行直线

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．公理4，即平行公理．

2．等角定理及推论．

（二）能力训练点

1．利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理．

2．充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性．

3．通过本节课的学习，让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证明．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：让学生掌握平行公理及其应用．

2．教学难点：等角定理证明的掌握及其应用．

3．教学疑点：正确理解等角定理中命题的条件：两个角的两边分别平行且这两个角的方向相同．

三、课时安排

1课时．

四、教与学的过程设计

（一）复习两条直线的位置关系（幻灯显示）

师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？

生：三种：相交、平行、异面．异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．相交直线和平行直线也称为共面直线．

师：异面直线的画法常用的有哪几种？

生：三种．如图1－38，a与b都是异面直线．

师：如何判定两条直线是异面直线？

生：（1）间接证法：根据定义，一般用反证法．

（2）直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的

（二）平行公理

师：在平面几何中，如图1－40，若a∥b，c∥b，则a与c平行吗？

生：平行．

师：也就是说，在平面中，若两条直线a、c都和第三条直线b平行，则a∥c．这个命题在空间中是否成立呢？

师：实际上，在空间中，若a∥b，c∥b，则a∥c也成立．我们把这个结论作为一个公理，不必证明，可直接应用．

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

如图1－41，三棱镜的三条棱，若AA′∥BB′，CC′∥BB′，则有AA′∥CC′．

下面请同学们完成下列的例题，巩固应用平行公理．

例已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD

师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边不平行；或证明一组对边平行且不相等．具体用哪一种方法，我们来分析一下题意：E、H分别是边AB、AD的中

证明：如图1－42，连结BD．

∵EH是△ABD的中位线，

根据公理4，EH∥FG，

又∵FG＞EH，

∴四边形EFGH是梯形．

（三）等角定理

师：平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据，也是证明等角定理的基础．

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同．

求证：∠BAC＝∠B′A′C′．

师分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．

证明：对于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面内的情况，在平面几何中已经证明．下面我们证明两个角不在同一平面内的情况．

如图1－43，在AB、A′B′，AC、A′C′上分别取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结AA′、DD′、EE′，DE、D′E′．

∵AB∥A′B′， AD＝A′D′，

∴AA′DD′是平行四边形．

根据公理4，得：DD′∥EE′．

又可得：DD′＝EE′

∴四边形EE′D′D是平行四边形．

∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′．

∴∠BAC＝∠B′A′C′．

师：若把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论．

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．

从上面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用．

下面请同学们完成练习．

（四）练习（P．14练习1、2．）

1．把一张长方形的纸对折两次，打开后如图1－44那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？

答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的．

△ABC≌△A′B′C′．

∴四边形BB′C′C是平行四边形．

∴BC＝B′C′．

同理可证：AC＝A′C′，AB＝A′B′．

∴△ABC≌△A′B′C′．

（五）总结

这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论．平行公理是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础．等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础．这节课我们还明确了在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证后用．

五、作业

教材P．17习题二4、5、6、7、8．

六、板书设计

一、平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

二、等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．

例：

已知：四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F1、G分别是边CB、CD上的点，

求证：四边形EFGH是梯形．

等角定理的证明：

已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同．

求证：∠BAC=∠B′A′C′

练习2

求证：△ABC≌△A′B′C′．