高中数学人教版新课标B必修22.3.2圆的一般方程教学设计

      圆的参数方程

1．圆的参数方程的推导

   设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点

是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，

，则点的位置与旋转角有密切的关系：

当确定时，点在圆上的位置也随着确定；

当变化时，点在圆上的位置也随着变化．

这说明，点的坐标随着的变化而变化．

设点的坐标是，你能否将、分别

表示成以为自变量的函数？

    根据三角函数的定义，，      ①

显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点

都在圆上。

我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数

方程，是参数．

圆心为，半径为的圆的

参数方程是怎样的？

圆可以看成由圆按向量

平移得到的（如图），

由可以得到圆心为，半径为的圆的

参数方程是 （为参数）②

2．参数方程的概念

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是

某个变数的函数，即　③

并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都

在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，

联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，

也可以是没有明显意义的变数．

3．参数方程和普通方程的互化

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标

、关系的方程，叫做曲线的普通方程．

将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。

参数方程和普通方程可以互化．

如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程

．

（三）例题分析：

例1．把下列参数方程化为普通方程：

（1）  （为参数）   （2）   （为参数）

解：（1），

由得，这就是所求的普通方程．

（2）由原方程组得，把代入得

，化简得：（），

这就是所求的普通方程．

说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围

与、的取值范围之间的制约关系，保持等价性．

例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点

，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹

是什么？

解：设点，∵圆的参

数方程为，

∴设点，

由线段中点坐标公式得，

即点轨迹的参数方程为，

∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．

【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？

又解：设，，

 ∵点是线段的中点，∴，∴，

∵点在圆上，∴，∴，

 即点的轨迹方程为，

∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．

例3．已知实数、满足，

（1）求的最大值；（2）求的最小值．

解：原方程配方得：，

它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示

为 （为参数，），

（1），

 ∴当，即时，．

（2），

  ∴当，即时，．

说明：本题也可数形结合解．

五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；

2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；

3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．

补充：已知曲线的参数方程为（为参数），

是曲线上任意一点，，求的取值范围．