数学人教版新课标B2.3.1圆的标准方程教案

圆的标准方程

课标解读 

教学策略 

1．本节重点是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识；在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。难点是用数形结合法求圆的标准方程。

2．在得到圆的标准方程之后，用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。即若点M在圆上，由上述结论可知，点M的坐标适合方程；反之，若N的坐标适合方程，说明点N与圆心A的距离为r。

3．对于圆的标准方程，应强调其圆心为C(a,b)，半径为r，注意方程中的减号。

4．提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。

5．在引导学生列关于a、b、r的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。

学习策略

1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。

2．在掌握了标准方程之后，要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系，

3．要注意数形结合思想及方程思想的运用。

4．求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于a、b、r的方程或方程组。

情景创设 

同学们，你们做过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。

世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺．然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算．因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径112公尺，离地总高120公尺的摩天轮。

对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究呢？

合作探究

探究一  探究圆的标准方程

想一想：初中学习圆的定义如何？

我们在初中已经学习了圆的有关知识，圆的几何特征是在平面内圆上任一点到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径．

议一议：确定圆需要哪些条件？

一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了.

探究：如图4-1-1-1，设圆心是C(a,b)，半径为r，设P(x,y)

是圆上任意一点，则CP=r，由两点间的距离公式

得，即得圆的标准方程：

其中圆心为C(a,b)，半径为r．

提升总结：圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为。

温馨提示：(1)如果圆心在坐标原点，此时a=b=0，圆的方程为．

(2)圆的标准方程 圆心为C(a,b)，半径为r，这呈现了圆的几何特征.

例1求满足下列条件的各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是；

(2)圆心在点C(8,8)，半径是2008；

(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,).

分析：根据圆心和半径直接代入标准方程。

解：(1) ；(2) ；

(3) 方法一：∵圆的半径，圆心在点C(8,)，

∴圆的方程是.

方法二：∵圆心为C(8,)，故设圆的方程为，

又∵点P(5,1)在圆上，∴，∴。

∴所求圆的方程是.

点拨：确定圆的标准方程只需要确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素。

例2 写出下列方程表示的圆的圆心和半径．

(1)；

(2)()；

(3)().

分析：搞清圆的标准方程()中，圆心为()，半径为，本题易于解决．

解：(1)圆心(0,0)，半径为；    (2)圆心(3,0)，半径为；

(3)圆心()，半径为.

点拨：(2)、(3)两题仅为半径的平方，没有给定，所以半径.

探究二 如何确定点与圆的位置关系？

在平面直角坐标系中，圆一旦确定，该平面内的任何一点与圆的位置关系都确定下来．那么该如何确定呢？

想一想：初中学习圆的内容时，点与圆的位置关系有哪些？

点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外。

议一议：如何通过距离进行比较呢？

其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．d<r时点在圆内；d=r时点在圆上；d>r时点在圆外．

议一议：如何通过方程进行比较呢？

探究：以圆为例，在圆上的点都满足．

数形结合易知点都在圆的内部，它们都满足、、．事实上若点在圆的内部，过点作轴的垂线，交圆于，显然有且，从而有．也就是说圆的内部的点都满足．

数形结合易知点都在圆的外部，它们都满足、、．事实上若点在圆的外部，过点作轴或轴的垂线，(1)若与圆有交点，则同理可得，(2)若均与圆无交点，则，从而也有．也就是说圆的外部的点都满足．

将圆替换为，结论同样成立．

提升总结：

点在圆上等价于；

点在圆内部等价于；

点在圆外部等价于．

温馨提示：点与圆的位置关系的比较有以上两种方法，几何法与代数法。

例3 写出以点A(2,)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,)，N(2,)，P(10,)与该圆的位置关系．

分析：先求出圆的标准方程，然后再判断。

解：圆的标准方程为.

方法一：因为，所以点M在圆上．

因为，所以点N在圆内．

因为，所以点P在圆外．

方法二：因为，所以点M在圆上．

因为，所以点N在圆内．

因为，所以点P在圆外．

点拨：求点与圆心之间的距离或将点的坐标代入方程是关键．

探究三  如何确定圆的标准方程的方法和步骤？

想一想：圆的标准方程中有几个参变数？使用什么方法求解？

议一议：圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件，才能定出一个圆的方程。

当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程．

提升总结：求圆的标准方程的一般步骤为：

(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为．

(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

(3)解此方程组，求出a，b，r的值；    .

(4)将所得的a，b，r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程．

例4在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程.

分析：设出标准方程进行求解或利用平面几何的知识求解。

解：方法一：设圆的标准方程为.

因为点A，B在圆上，所以可得到方程组： 解得a=3，b=.

所以圆的标准方程是或.

方法二：由A、B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，于是可以设圆心为C(3,b)，又AC=得：. 解得b=1或b=．

因此，所求圆的标准方程为或.

点拨：本题求解的核心就是求出圆心的坐标，待定系数法是最容易想到的办法；但用待定系数法计算有时会比较麻烦．如果在求解有关这类问题时能够结合圆的有关几何性质来考虑（如垂径定理等），可以使思路比较直观而且计算会简洁些．

探究四  圆的标准方程的求解与应用

例5已知一个圆经过两个点，且圆心在直线上，求此圆的方程．

分析：已知三个条件，直接利用待定系数求出圆心坐标和半径即可．可以直接代入、利用圆的性质、圆的定义进行等价转化．

解：方法一：设所求圆的方程为．

由已知条件得： (*)

两式相减得：

．

展开整理得．

又圆心在直线上，所以．

联立方程得解之得．

将其再代入(*)式中的任何一个方程，解得．

故所求圆的方程为．

方法二：因为已知．

所以中点为，．

从而的中垂线方程为，即．

解方程组得

所以圆心为．

从而圆的半径．

故所求圆的方程为．

方法三：因为圆心在直线上．

所以点的坐标可表示为．

又，所以．

解得．

从而圆心为，半径．

故所求圆的方程为．

点拨：三种方法都是利用待定系数法．其中方法一是直接法，即将圆上的点的坐标代入圆的方程进行求解；方法二是利用圆的性质作等价转化，即弦的中垂线经过圆心转化求解；方法三是利用圆的定义作等价转化，即圆上的点到圆心的距离都相等．上述三种方法都需要熟练掌握，其中利用圆的性质作等价转化既方便又快捷．

例6  有一种商品，A，B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A地每公里的费用是B地每公里费用的3倍．已知A，B两地的距离是10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低．求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点?

分析：本题是一个实际问题，要通过建立数学模型来解决，要判断曲线的形状，实际上是求曲线的方程，宜用解析法.

解：如图4-1-1-2所示，以A、B所在的直线为x轴，线段AB中点为原点建立直角坐标系.

∵AB=10，∴A(,0)，B(5,0).

设P(x,y)，P到A、B所在购物费用相等时有：

价格+A地运费=价格+B地运费，

∴，

化简整理，得.

(1)当P点在以(,0)为圆心，为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等.

(2)当P点在上述圆内时，∵，

∴.

∴，故此时到A地购物最合算.

(3)当P点在上述圆外时，同理可知，此时到B地购物最合算.

点拨：作为应用要注意领悟题目的实际意义，对于曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点，这实际是研究点与圆的关系问题.

例7 如果实数x、y满足方程.

求(1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值.

分析：由题目可以获取信息点(x,y)在圆上，故应考虑与的几何意义，然后借助图形求解。

解：(1)设P(x,y)，则P点的轨迹就是已知圆C：.

而的几何意义就是直线OP的斜率(O为坐标原点)，如图4-1-1-3所示，

设=k，则直线OP的方程为.

由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.

点C到直线的距离.

∴当，即时，直线OP与圆相切.

∴的最大值与最小值分别是和.

(2)设，则，由图知直线与圆相切时，截距b取最值.

而圆心C到直线的距离为，

∵，即时，直线与圆相切，

∴的最大值与最小值分别为与.

点拨：针对这个类型的题目一般考虑所求式子的集合意义，然后利用数形结合的方法求出其最值。

备选例题

例1已知点在圆上，求的值．

分析：本题是点与圆的位置关系问题，直接利用点与圆的位置关系的等价条件求解．

解：因为点在圆上．

所以，化简得．

解之得或．

点拨：判断点在圆上、圆内、还是在圆外，一般是将点的坐标代入，并利用相应的等价条件求解，由于是等价条件，所以逆向应用求解参数范围的方法也一样．

例2 设圆的方程为，过点的直线交圆于点，是坐标原点，点为的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程．

分析：动点为的中点，所以点是由点而决定，另外点又由点的直线来决定，找到最初的“动”是解决问题的关键。

解：设点的坐标为、．

因在圆上，所以．

两式相减得．

所以

当时，有①  

并且                     ②

将②代入①并整理得      ③．

当时，点的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点的坐标为（0，0）也满足③，

所以点的轨迹方程为．

点拨：将所求点坐标设为，相应的已知点的坐标设为，再用表示．即，然后代入已知点满足的方程，消去得到所求曲线的方程，体现设而不求思想．本题是将看作整体进行代换．

例3 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图4-1-1-4所示)的东偏南()方向300km的海面P处，并以20km／h的速度向西偏北方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以l0km／h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

分析：建立适当的平面直角坐标系，将条件转化为圆的相关知识求解。

解：如图4-1-1-5所示，建立坐标系：以O为原点，正东方向为轴正方向．

在时刻(h)时，台风中心的坐标为：

此时台风侵袭的区域是：

，其中.

若在时刻城市O恰好开始受到台风的侵袭，则有

，

即

，

解得，=12或=24．

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．

点拨：解决本题的关键是实际问题转化为相应的数学模型，台风侵袭的区域是个圆面，将“城市O受到台风侵袭”这一条件转化为点O在圆上或圆内去解决问题，同学们在做题过程中要认真体会化归思想的妙用．

达标体验 

1．★圆的圆心和半径分别为(   )

A． B．  C．  D．

1．解析：根据圆的标准方程的定义和参数的几何意义，直接写出圆心坐标和半径．

答案：D。

2．★已知一圆的圆心为点A(2,)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(    ).

A．13        B．13

C．52        D．52

2．解析：由中点坐标公式得直径的两个端点为(4,0)，(0,)，所以半径

.

答案：A。

3．★★在平面直角坐标系中，方程的曲线形状是(    ).

A．一条直线和一个圆             B．一条线段和一个圆

C．一条直线和圆的一部分         D．一条线段和圆的一部分

3．解析：由题意得或，且.

答案：C。

4．★（2007湖南11）圆心为且与直线相切的圆的方程是        ．

4．解析：圆心，半径，所求圆的方程为。

答案：

5．★★（2006全国Ⅱ理15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率

5． 解析：由题设知此直线应与过点(1,)与圆心的直线垂直.

，所以.

答案：

6．★★已知点．(1)求以为直径的圆的标准方程；(2)已知点，若点在圆上，求的最大值和最小值．

6．解：(1)以为直径的圆方程为，即，配方化为标准方程是．

(2)由及圆心，知，所以，．

反思感悟 

1．利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径，比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大简化计算的过程与难度．

2．圆的标准方程为，其中圆心坐标为，圆的半径为．圆心在原点、半径为的标准方程为．

3．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离与圆半径的关系．时，点在圆内；时，点在圆上；时，点在圆外．

4．求圆的标准方程的基本方法有直译法、定义法、待定系数法，在求解时要注意数形结合思想方法的使用。

课时作业 

一、选择题

1．★圆心是，且经过原点的圆的方程为(    )．

A． B．

C． D．

1．解析：因为圆经过坐标原点，所以圆的半径．因此，所求圆的方程是．

答案：B

2．★直线将圆平分，则（   ）。

A．13 B．7 C．-13 D．以上答案都不对

2．解析：直线过圆心时才将圆平分，将圆心代入直线方程，解得．

答案：B

3．★(2005重庆)圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为(    )。

A． B．

C． D．

3．解析：求出圆心的对称点即可．圆心关于原点的对称圆心为，半径不改变，故所求对称圆的方程为．

答案：A

4．★★圆与圆关于直线对称，则与的值分别等于（    ）。

A．，  B．，

C．，  D．，

4．解析：已知两圆圆心分别为，，的中点为．故直线的方程为，即，所以，，选B．

答案：B。

5．★★在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，在圆内部的所有整点中，到原点的距离最远的几个整点所确定圆的半径是(    ).

A．4          B．3         C．         D．

5．解析：数形结合.

答案：B。

二、填空题

6．★经过点，圆心在轴负半轴上，半径等于5的圆的方程_______________.

6．解析：根据条件得出圆心为，，故方程是。

答案：。

7．★圆内一点，则过P点的最短弦的弦长为___________，最短弦所在的直线方程为___________________.

7．解析：设圆心为Q，最短弦应是过P点且与PQ垂直的直线。

答案：，。

8．★★已知的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于一点C(0, ×2009)，过A、B、C三点作一圆，则该圆与y轴的另一个交点D的坐标为________.

解析：注意到A、B两点的坐标为(,0)、(2009,0)，而点C的坐标为(0, ×2009)，且弦AB、CD交于点O，根据“相交弦定理”，可得OAOB=OCOD，所以OD=1，从而D点的坐标为(0,1).

答案：(0,1)。

三、解答题

9．★★★已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程。

9．解：设所求圆的圆心为，半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为。由题设知圆被x轴分成的劣弧所对的圆心角为，可知圆截x轴所得弦长为，故。

∵圆被截y轴所得的弦长为2，∴有。

又∵到直线的距离为，

∴，即。

由此得或

解方程组得或于是。

∴所求圆的方程是，或。

10．★★★已知两定点A(,0)、B(8,0)，动点P在圆C：上移动，

(1)求证：恒为定值；

(2)据(1)猜测：对任意圆，当两定点A、B与点满足什么关系时，恒为定值.

10．解： (1)设P(x,y)，则=，=，于是

=+=

∵P(x,y)在圆上，∴，即，

∴=.

(2)当点平分线段AB时，恒为定值.