数学2.2.4点到直线的距离教案及反思
展开点到直线的距离公式的多种证明
在平面直角坐标系中，关于点 到直线 的距离公式 。教材上给出了当 时的证明，并说明当或时公式也成立。教师教学用书上还给出了三种证法。本文就当的情形下。再给出几种不同证法。
证 法 一（平面几何法）
设 与轴交于点，得
过点做轴的垂线交轴于，
交直线于，
得
由平面几何知识易证
则
得：
证 法 二（平移法）
将坐标系的原点平移到点
新坐标系。
在新坐标系中的方程是
即 ①
过作的垂线为垂足，易求作
在直线在新坐标系中的方程为 ②
由① ②求出点的坐标
即
证 法 三（参数法）
过做的垂线为垂足。
设的倾斜角为，直线的倾斜角为，
易得。
直线的参数方程是
（为参数）
代入的方程得：
由根据同角关系可得
代入得
证 法 四（向量法）
设直线的法向量。则
过做的垂线段，点在直线上，
得向量
由与是共线向量。
则有
点在上，
证 法 五（最值法）
由点到直线的距离为点与上的点
的距离的最小值。
由
以上的证明均在的条件下进行的，可验证或时，公式也成立。但此时可不必使用这个公式就可以直接求得距离。例如求点到直线的距离，得
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