数学必修22.2.3两条直线的位置关系教学设计

两条直线的位置关系

一、一周知识概述

　　本周主要学习两条直线的位置关系，首先结合行列式判断两条直线相交、平行与重合的条件；其次学习了两条直线的夹角公式以及两条直线垂直的条件；最后学习了点到直线的距离公式．

二、重难点知识归纳

1、两条直线的相交、平行与重合

设两条直线方程l1：a1x＋b1y＋c1=0，l2：a2x＋b2y＋c2=0.

令.

（1）当D≠0时，两直线相交，交点坐标是.

（2）当D=0时，分两种情况：

①当Dx≠0或Dy≠0时，两直线平行.

②当Dx=Dy=0时，两直线重合.

2、两条直线的夹角

　　规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.

　　已知两条相交直线方程为l1：a1x＋b1y＋c1=0(a1、b1不同时为零)，l2：a2x＋b2y＋c2=0（a2、b2不同时为零）.

　　则两条直线的夹角公式为.

　　若两条直线l1与l2相互垂直，其斜率为k1，k2，则有k1k2=－1.

3、点到直线的距离

对于任意一点，直线l:ax＋by＋c=0．

(1)若直线l平行于x轴，即a=0，此时直线方程为．

点P到直线l的距离．

(2)若直线l垂直于x轴，即b=0，此时直线方程为．

点P到直线l的距离.

(3)若直线l既不垂直于x轴，又不平行于x轴．

点P到直线l的距离．

三、典型例题剖析

例1、求经过两直线l1:x－2y＋4=0和l2：x＋y－2=0的交点P，并且与直线l3:3x－4y＋5=0垂直的直线l的方程．

分析：

　　本题可先通过解方程组求出点P的坐标，再利用，求得直线l的斜率，最后利用点斜式求出l的方程，也可用直线系方程求解．

解法1：

　　解方程组，

　　因为.

　　则方程组的解是.

　　得交点P(0,2)．

　　，且，．

　　由点斜式得直线l的方程为4x＋3y－6=0．

解法2：设所求直线l的方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)=0，

　　整理得(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ=0．

　　(λ＋1)×3＋(λ－2)×(－4)=0，得λ=11．

　　故所求直线l的方程为4x＋3y－6=0．

例2、已知直线l:(a－1)x＋y＋a＋1=0及定点A(3,4)，a为何值时，点A到l的距离最大？

解析：

　　将直线l的方程化为(a－1)x＋a－1=－y－2．即y＋2=(1－a)(x＋1)．

　　直线l恒过定点P(－1,－2)，

　　当且仅当时，点A到l的距离最大．

　　又，故，．

　　即1－a=,.

　　故当时，点A到l的距离最大．

规律总结：

　　对于点到直线的距离最值问题可用点到直线的距离公式化为函数问题求最值，或利用几何性质，数形结合处理．

例3、在△ABC中A（3，4），B（6，0），C（－5，－2），求∠BAC的平分线AT所在直线的方程.

解析：

　　可求得直线AC方程为3x－4y＋7=0，直线AB方程为4x＋3y－24=0，又根据点斜式可设直线AT方程为y－4=k(x－3)，即kx－y－3k＋4=0.

　　∵∠CAT=∠TAB，∴直线AC与AT，直线AT与AB的夹角相等.

　　根据两条直线间的夹角公式，有.

　　解得k=7或（由图知应舍去），

　　∴AT的方程为7x－y－17=0.

例4、分别过A(6,2)、B(－3,－1)两点的两条直线相平行，并且各自绕着AB旋转，如果两平行线间距离为d．

(1)求距离d的取值范围；

(2)求当d取最大值时两条直线的方程．

解析：

　　（1）设两平行线的斜率为k，则两直线方程分别为y－2=k(x－6)，y＋1=k(x＋3)，即kx－y－6k＋2=0，kx－y＋3k－1=0．

　　，

　　整理得．

　　若d=9，则；

　　若，kR，，

　　，．

　　当直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=－3，此时d=9．

　　综合得.

　　（2），此时．

　　此时两直线分别为3x＋y－20=0，3x＋y＋10=0．

例5、已知P(2,3)和直线l:x＋y＋1=0．求

　　(1)点P关于直线l的对称点；

　　(2)若一束光线由P点射到l上，反射后经过点Q(1,1)，求入射光线及反射光线的方程．

解析：

　　(1)设对称点坐标为（x，y）

　　∵ P点和点关于直线l对称，则且的中点在l上，

　　∴，即x＋y＋7=0．　　①

　　又，则．　　②

　　解①②可得x=－4,y=－3．

　　点的坐标是(－4,－3)．

　　(2)由光线最短原理知，连线即为反射线，

　　可得，则有，故反射线方程为，即4x－5y＋1=0．

　　设反射线与l的交点M（x,y），则有，

　　解得．

　　所以入射点．PM连线为入射线，

　　同理可求得PM方程为5x－4y＋2=0．

　　故入射光线方程为5x－4y＋2=0，反射光线方程为4x－5y＋1=0．