高端精品高中数学一轮专题-数列求和的方法（精讲）（带答案）教案

数列求和的方法

考点一 裂项相消

【例1】若数列的前项和满足.

(1)求证：数列是等比数列；

 (2)设，求数列的前项和.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】证明：当时，，计算得出，

当时，根据题意得，，所以 ，即

，即 数列是首项为-2，公比为2的等比数列

由（1）知，

  ，1

则

【一隅三反】

1．设数列满足：，且（），.

（1）求的通项公式：

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（）（2）

【解析】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,

因为,所以,解得,

所以的通项公式为:();

(2)由(1)知,

所以数列的前项和:

.

2．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）设等差数列的公差为（），

因为，且成等比数列，

所以，即，

解得（舍去）或，

所以，

（2）由（1）可得，

所以

考点二 错位相减

【例2】已知数列满足，且

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）

时，有，即，故，

又时也适合该式，

（2）因为，

所以①

则②

①-②得，

.

【一隅三反】

1．已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】（1）由题意，，得，

由，得，．所以．

由，，得公比，所以．

（2）因为，所以①

得②

①-②得

．

所以．

从而．

2．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和为.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当时，==4；

当时，，

且亦满足此关系，

∴的通项为，

设的公比为，则，则，

∴；

（2）由题意，，

而，

，

两式相减，有，

．

3．已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，而，

∴数列是等比数列，公比为1，首项为1，

∴，∴；

（2）由（1），

设，

则，

两式相减得，∴，

∴．

考点三 分组求和

【例3】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由,，

则，

设等差数列的公差为，则，

所以，

所以

设等比数列的公比为

由，

，

解得，

所以，

（2），

数列的前项和

【一隅三反】

1．已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设数列的公差为，则，，

∵，，成等比数列，∴，即．

整理得，解得（舍去）或，

∴．

当时，，当时，．

验证：当时，满足上式，

∴数列的通项公式为．

（2）由（1）得，，

∴

．

2．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等比数列的公比为，则，则，，

由于是和的等差中项，即，即，解得.

因此，数列的通项公式为；

（2），

.

3．已知等比数列的各项均为正数，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设公比为

由题意可知，整理得，解得（舍），，即

则

（2）

考点四 倒序相加

【例4】已知函数，若 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知：

令

又

于是有   

因此

所以

当且仅当时取等号

本题正确选项：

【一隅三反】

1．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

设，

则，

两式相加得，因此，.

故选：B.

2．已知函数，则的值为（ ）

A．4033 B．-4033

C．8066 D．-8066

【答案】D

【解析】，所以原式.

3．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以

所以

因为

所以，

所以

则数列的前2018项和

则

所以

所以

又

故选：

考点五 奇偶并项

【例5】设，数列的前项和为，已知，______.请在①，，成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项的和.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】选①，（1）由得：，

∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.

由，，成等比数列得，解得.

∴.

（2），

.

选②，（1）由得，

∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.

由得，解得，

∴.

（2），

∴

.

选③，（1）同理，由得，

∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，

由得，解得，

∴.

（2），

∴

.

【一隅三反】．

1．设是数列的前n项和，已知，

⑴求数列的通项公式；  

⑵设，求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为，所以当时，

两式相减得，   所以

当时，，，则

所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故

（2）由（1）可得

所以

故当为奇数时，

当为偶数时，

综上

2．已知数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当时，.

因为，所以，所以.

因为，所以.

两式相减，得，即

又因为，所以.

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以.

（2）由（1）可知

故当为偶数时，

当为奇数时，

所以

考点六 绝对值求和

【例6】已知数列的通项公式，则 （　　）

A．150 B．162 C．180 D．210

【答案】B

【解析】由对勾函数的性质可知：

当时，数列为递减；当时，数列为递增．

所以

=

=

=

=162

【一隅三反】

1．已知是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列前10项和为(    )

A．58 B．56 C．50 D．45

【答案】A

【解析】是首项为32的等比数列,是其前n项和,且,所以公比不为1，

,

,

,

,

,

数列前10项和为,

故选：A