高端精品高中数学一轮专题-随机事件的概率、古典概型（讲）教案

随机事件的概率、古典概型

核心素养立意下的命题导向

1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．

2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．

3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．

4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．

[理清主干知识]

1．事件的分类

2．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．

3．事件的关系与运算

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为.

(3)不可能事件的概率为.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)．

5．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

6．古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

P(A)＝.

考点一　随机事件的频率和概率

[典例]　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

[方法技巧]

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．　　

[针对训练]

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．

(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．

(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

考点二　互斥事件、对立事件的概率

[典例]　一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出的小球是红球或黑球的概率；

(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．

[方法技巧]　复杂的互斥事件的概率的两种求法

[针对训练]

　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率．

考点三　古典概型

考法(一)　简单的古典概型

[例1]　(1)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A.  B．

C.  D．

(2)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

[方法技巧]　求古典概型概率的3步骤

考法(二)　古典概型与其他知识的交汇

[例2]　(1)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是(　　)

A.  B．

C.  D．

(2)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

[方法技巧]

求解古典概型与其他知识交汇问题的思路

解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．　　

[针对训练]

1．(2021年1月新高考八省联考卷)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

2．从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

3．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

创新考查方式——领悟高考新动向

1．食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．这种摄食关系，实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系，也即物质能量通过食物链的方式流动和转换．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D．

2．(多选)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则下列说法正确的是(　　)

A．P(A)＝P(B)＝P(C)

B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)

C．P(ABC)＝

D．P(A)P(B)P(C)＝

3．古代人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须安排在前两节、“礼”和“乐”必须分开安排的概率为________．

4.中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方格叫作九宫．现有一张中国象棋棋盘的示意图如图所示．若在矩形ABCD内(其中楚河汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点，则该点落在九宫内的概率是________．