高端精品高中数学一轮专题-概率与统计的综合问题（练）（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-概率与统计的综合问题（练）（带答案）试卷，共6页。
概率与统计的综合问题1．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：人员编号12345(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)      人员编号678910(x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列及其数学期望．解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名．从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为C＋C＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝.(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：人员编号12345678910综合指标4462453513 其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度不是一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以随机变量X的分布列为X12345PE(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.2．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示： x246810y3671012(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考公式：＝，＝－.解：(1)散点图如图所示．(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，＝4＋16＋36＋64＋100＝220，iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，＝＝＝1.1，所以＝7.6－1.1×6＝1，所以线性回归方程为 ＝1.1x＋1，故当x＝20时，＝23.(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0，所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故ξ的分布列为ξ123P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.3．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5千克，通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好优秀良好合格废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制频率分布直方图如图：(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率．(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望．(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y/元6t8t4t2t－et 试分析生产该产品能否盈利，若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．(参考数值：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)解：(1)设事件A发生的概率为P(A)，将频率作为概率，则由频率分布直方图可得，随机抽取1件产品，为废品的概率P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C(0.3)3＝1－0.027＝0.973.(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，m∈[85,90)的频率为0.08×5＝0.4，m∈[90,95)的频率为0.04×5＝0.2，m∈[95,100]的频率为0.02×5＝0.1.故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件．从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为X012P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y/元6t8t4t2t－etP0.050.10.150.40.3 故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1<t<4)．则y′＝2.5－0.5et，令y′＝2.5－0.5et＝0，得t＝ln 5，当t∈(1，ln 5)时，y′>0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；当t∈(ln 5,4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减．所以当t＝ln 5时，y取得最大值，最大值为2.5×ln 5－0.5eln 5≈1.5.所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值，约为1.5元．4．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为Pn，其中n∈N*，且n≤998.(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望；(2)证明：数列{Pn＋1－Pn}是等比数列；(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．解：(1)由题意可得X的所有可能取值为3,4,5,6，则P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C××2＝，P(X＝5)＝C×2×＝，P(X＝6)＝3＝，所以X的分布列为X3456P所以X的数学期望E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.(2)证明：由题意可得Pn＋2＝Pn＋1＋Pn，所以Pn＋2－Pn＋1＝－(Pn＋1－Pn)．又P1＝，P2＝＋2＝，所以P2－P1＝≠0，所以{Pn＋1－Pn}是以为首项，－为公比的等比数列．(3)由(2)可得，P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P2－P1)＋P1＝＋＝－×98.