高端精品高中数学一轮专题-椭圆（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-椭圆（讲）（带答案）教案，共13页。

1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
3．常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq \f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq \f(x2,a2＋λ)＋eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
考点一 椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq \r(3)，则△PF1F2的周长是( )
A．2(eq \r(2)＋eq \r(3)) B．4＋2eq \r(3)
C.eq \r(2)＋eq \r(3) D．eq \r(2)＋2eq \r(3)
[解析] 如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，
所以OM∥PF2，ON∥PF1，且
|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq \f(1,2)|PF1|，
所以四边形OMPN为平行四边形，
所以▱OMPN的周长为
2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(3)，
所以a＝eq \r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，
所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，
所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)＝2(eq \r(2)＋eq \r(3))，故选A.
[答案] A
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 设点P是椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，
∴|AF′|＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq \r(2)＋eq \r(17)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|
＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4eq \r(2)－eq \r(17).
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4eq \r(2)－eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]．
[答案] [4eq \r(2)－eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]
[方法技巧] 椭圆定义应用的类型及方法
[针对训练]
1．(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，故C选项正确；
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，
∴a2－c2＝b2＝1. ①
∵△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，∴eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，
∴a－c＝2－eq \r(3). ②
由①②联立解得，a＝2，c＝eq \r(3).
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq \f(4,|PF1|4－|PF1|)＝eq \f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，
又2－eq \r(3)≤|PF1|≤2＋eq \r(3)，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)≤4，
即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
考点二 椭圆的标准方程
[例1] 过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
[解析] 法一：定义法
椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，
解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
法二：待定系数法
设所求椭圆方程为eq \f(y2,25＋k)＋eq \f(x2,9＋k)＝1(k>－9)，将点(eq \r(3)，－eq \r(5))的坐标代入，可得eq \f(－\r(5)2,25＋k)＋eq \f(\r(3)2,9＋k)＝1，
解得k＝－5，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
[答案] C
[例2] 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
[解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，
连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
[答案] C
[方法技巧] 求椭圆标准方程的2种常用方法
[针对训练]
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点P(2，eq \r(3))在椭圆上知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
[例1] (1)已知椭圆方程为eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] (1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，c＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以离心率e＝eq \f(\r(2),2).故选C.
(2)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，
由eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，
又点A在椭圆上，则eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，
整理可得eq \f(16,9)·eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,9)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(\r(2),2).故选D.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
[例2] (1)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝6，点P到直线l的距离不小于eq \f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
[解析] (1)设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)).
又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式做差，代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故0所以e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)).
(2)如图所示，设F′为椭圆的左焦点，
连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3.取P(0，b)，
∵点P到直线l：4x－3y＝0的距离不小于eq \f(6,5)，
∴eq \f(|3b|,\r(16＋9))≥eq \f(6,5)，解得b≥2.
∴c≤eq \r(9－4)＝eq \r(5)，∴0∴椭圆E的离心率范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))).故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧] 求椭圆离心率范围的2种方法
考法(三) 与椭圆性质有关的最值或范围问题
[例3] 如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为( )
A．1 B．2eq \r(3)
C．4 D．4eq \r(3)
[解析] 设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.∴－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3).
又F(－1,0)，A(2,0)，
eq \(PF,\s\up7(―→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)，
∴eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2.
当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))取得最大值4.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
[针对训练]
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于eq \f(3,5)
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq \f(32,5)
解析：选ACD ∵16x2＋25y2＝400，∴eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，
∴长轴长2a＝10，故A、C正确，B错误．
对于选项D，|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(32,5)，正确．故选A、C、D.
2．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(6),3)
解析：选D 直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝eq \f(|±c|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2＋eq \f(1,2)c2⇒a2＝eq \f(3,2)c2⇒c＝eq \f(\r(6),3)a⇒e＝eq \f(\r(6),3)，故选D.
3．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析：选A 设P(x0，y0)，由题易知|x0|xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)有解，即c2>(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))min，又yeq \\al(2,0)＝b2－eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,0)，xeq \\al(2,0)b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，解得e>eq \f(\r(2),2)，又0一、创新思维角度——融会贯通学妙法
椭圆中的垂径定理：kAB·kOM＝－eq \f(n,m).
[证明] 设椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上的两点，
把点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))将两式作差并整理得
eq \f(x1－x2x1＋x2,m)＋eq \f(y1－y2y1＋y2,n)＝0，
记弦AB的中点为M(x0，y0)，
若x1≠x2，则eq \f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝－eq \f(n,m)，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,m)，
从而kAB·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,m)，即kAB·kOM＝－eq \f(n,m).
[应用体验]
1．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
解析：选D 设AB的中点为M(1，－1)，
则kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)，
而kAB＝kMF＝eq \f(0－－1,3－1)＝eq \f(1,2)，kOM＝－1，
故eq \f(1,2)×(－1)＝－eq \f(b2,a2)，故a2＝2b2，①
又a2＝b2＋9，②
由①②解得a2＝18，b2＝9，
故椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
2．如果AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
解析：选C 易知kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1＝e2－1.
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为eq \f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,32)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,36)＝1
解析：选A 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在y轴上，
所以椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1.
2．“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则( )
A．e1>e2
B．e1C．e1＝e2
D．e1与e2的大小关系不能确定
解析：选A 设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2，焦距分别为2c1,2c2.
由题意知a1>a2>0，c1>c2>0，且a1－c1＝a2－c2.
令a1－c1＝a2－c2＝t，t>0，则a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.
所以eq \f(1,e1)＝eq \f(a1,c1)＝eq \f(c1＋t,c1)＝1＋eq \f(t,c1)，
eq \f(1,e2)＝eq \f(a2,c2)＝eq \f(c2＋t,c2)＝1＋eq \f(t,c2).
因为c1>c2>0，t>0，所以eq \f(t,c1)所以eq \f(1,e1)e2.故选A.
3.如图，点A，B分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,b2)＝1(0A.eq \f(\r(7),4) B．eq \f(4\r(7),3)
C.eq \f(\r(7),3) D．eq \f(3\r(7),4)
解析：选D 依题意得直线AP的方程为x－eq \r(15)y＋5＝0，直线PF与x轴的交点为(4,0)，即F(4,0)，∴b2＝25－16＝9，即椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.设M(m,0)(－5≤m≤5)，则M到直线AP的距离为eq \f(|m＋5|,4)，又|MB|＝|5－m|，∴eq \f(|m＋5|,4)＝|5－m|，∵－5≤m≤5，∴eq \f(m＋5,4)＝5－m，解得m＝3，∴M(3,0)．设椭圆上的点(x，y)(x∈[－5,5])到M(3，0)的距离为d，则d2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,25)))＝eq \f(16,25)x2－6x＋18＝eq \f(16,25)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(75,16)))2＋eq \f(63,16)，
∵x∈[－5,5]，∴当x＝eq \f(75,16)时，d2最小，此时dmin＝eq \f(3\r(7),4).
4．(多选)如图，记椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列命题中正确的是( )
A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值
B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C．曲线C所围区域的面积必小于36
D．曲线C的总长度不大于6π
解析：选BC 对于A，若点P在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，则P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错；对于B，联立两个椭圆的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,\f(y2,25)＋\f(x2,9)＝1，))得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故D错．故选B、C.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系