高端精品高中数学一轮专题-椭圆（练）（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-椭圆（练）（带答案）试卷，共11页。
一、关键点练明
1．(椭圆的定义)设P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝( )
A．4 B．8
C．6 D．18
解析：选C 由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
2．(椭圆的离心率)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的离心率是( )
A.eq \f(\r(13),3) B．eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(5,9)
解析：选B ∵椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
∴a＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).故选B.
3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,3)，则椭圆C的方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
解析：选D 依题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.
故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，依题意知 eq \r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|) 到两定点F1(－2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD ∵mx2＋ny2＝1，∴eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq \f(1,m)＜eq \f(1,n)，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝eq \f(1,n)，C是圆，半径为eq \f(1,\r(n))，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq \f(1,n)，∴y＝±eq \f(\r(n),n)，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．(2019·北京高考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：选C 椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A ∵△AF1B的周长为4eq \r(3)，
∴由椭圆的定义可知4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选C ∵c＝eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq \f(π,3)，得∠F1AO＝eq \f(π,6)，
∴tan∠F1AO＝eq \f(1,m)＝eq \f(\r(3),3)，解得m＝eq \r(3)，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
解析：选D 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A 连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2).故选B.
5．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(00)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
11．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，∴|OA|＝eq \f(1,2)|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝eq \f(3,4)a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
12．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝eq \r(2)b，即椭圆方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－b))，且eq \f(m2,2b2)＋eq \f(n2,b2)＝1，
即n2－b2＝－eq \f(m2,2)，
kAMkBM＝eq \f(n－b,m)·eq \f(n＋b,m)＝eq \f(n2－b2,m2)＝eq \f(－\f(m2,2),m2)＝－eq \f(1,2)，
又kAM＝－1，∴kBM＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中c＝eq \r(a2－b2)，设B(x，y)．
由eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝eq \f(3c,2)，y＝－eq \f(b,2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
将B点坐标代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4)c2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3c2.①
又由eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－c，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq \f(3,2)，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
三、自选练——练高考区分度
1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝eq \f(a,3)，∴|AF2|＝a，|BF1|＝eq \f(5,3)a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
如图所示，在Rt△AF2O中，
cs∠AF2O＝eq \f(1,a).
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cs∠BF2F1＝eq \f(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)a))2,2×2×\f(a,3))＝eq \f(3－2a2,a)，
根据cs∠AF2O＋cs∠BF2F1＝0，可得eq \f(1,a)＋eq \f(3－2a2,a)＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.故选A.
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))) B．(eq \r(3)－1,1)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，\f(\r(6),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3)))
解析：选A 如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccs α，
∴2csin α＋2ccs α＝2a，
∴e＝eq \f(1,sin α＋cs α)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))).
∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,12)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(\r(2)＋\r(6),4)))，
∴eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(1＋\r(3),2)))，
∴e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))).故选A.
3.如图所示，A1，A2是椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
解析：选A 由题意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
设M(x0，y0)，N(x1，y1)，则直线MA1的斜率为kMA1＝eq \f(y0－3,x0).
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率为k NA1＝－eq \f(x0,y0－3).
于是直线NA1的方程为y＝－eq \f(x0,y0－3)x＋3. ①
同理，NA2的方程为y＝－eq \f(x0,y0＋3)x－3. ②
联立①②消去y，得x＝x1＝eq \f(y\\al(2,0)－9,x0).
因为M(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1上，所以eq \f(x\\al(2,0),18)＋eq \f(y\\al(2,0),9)＝1，从而yeq \\al(2,0)－9＝－eq \f(x\\al(2,0),2)，所以x1＝－eq \f(x0,2)，所以eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,x1)))＝2.故选A.