高中数学一轮总复习课件6.4　数系的扩充与复数的引入

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1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.4.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
复数是数学高考的重要考点,每年必考.题目难度较小,一般为选择题或填空题的前1~2个小题,主要考查复数的代数运算、复数的相关概念、几何意义等.熟练并准确地进行代数运算是关键.同时要认真审题,看清楚题目的最终要求,避免低级失误.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
1.复数的有关概念(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.(2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.(3)复数相等a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等当且仅当a=c且b=d .即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.特别地,a,b∈R,a+bi=0⇒ a=0,b=0 .
2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0,且b≠0时,它叫做纯虚数.可以通过下图表示:
3.复数的几何意义(1)复平面点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义
4.复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2= (a+c)+(b+d)I , z1-z2= (a-c)+(b-d)I .(2)加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
温馨提示1.|z-z0|表示复数z和z0所对应的点的距离,当|z-z0|=r(r>0)时,复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心,半径为r的圆.2.若|z-z1|=|z-z2|,则复数z对应的点在以Z1(a,b)和Z2(c,d)为端点的线段的垂直平分线上.
6.复数的乘、除运算(1)复数乘法的运算法则和运算律①复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i .②复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有
8.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(选学)(1)复数三角形式的乘法①定义:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cs θ1+isin θ1),z2=r2(cs θ2+isin θ2),则z1z2=r1(cs θ1+isin θ1)·r2(cs θ2+isin θ2)=r1r2[cs(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.记忆:模数相乘,辐角相加.
1.在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.2.复数模的两个重要性质(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|(n∈N*)的性质当n∈N*时,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.(　　)(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(　　)(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.(　　)(4)方程x2+x+1=0没有解.(　　)(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.(　　)
5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是　　　　　.
∵复数z=(1+i)(2-i),∴z=2-i+2i-i2=3+i,∴复数的实部为3.
解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法:(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.
对点训练1(1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=(　　)A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i
∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.
(3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=(　　)A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i
由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
(3)已知复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　　　　. 
因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5.
解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
对点训练2(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　)
(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(　　)A.-5B.5C.-4+iD.-4-i
由题意知z2=-2+i.因为z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
对点训练3(1)已知zi=2-i,则复数z在复平面内对应点的坐标是(　　)A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)
(2)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)
复数选学部分能力形成点展示
典例2　求复数z=1+cs θ+isin θ(π