高中数学一轮总复习课件2.8　函数与方程

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1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程的近似解,了解用二分法求方程的近似解具有一般性.
高考对本节的考查主要有三个方面:函数零点的概念、求函数的零点、根据函数的零点求参数.此类题目常与函数的性质、图象综合,有时也用到导数知识,考查数形结合思想的应用,有一定的难度.复习时要掌握基本初等函数图象及变换,善于应用转化与化归思想解题,提升直观想象和逻辑推理的数学素养.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.2.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.3.周期函数若存在零点,则必有无穷个零点.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).(　　)(2)当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点.(　　)(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)·f(b)<0. (　　)(4)函数y=2sin x-1的零点有无数个.(　　)(5)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(　　)
3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是(　　)A.(-2,6)B.[-2,6]C.{-2,6}D.(-∞,-2)∪(6,+∞)
由题意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故选D.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表.那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)
由表中数据结合二分法的定义得零点存在于区间(1.406 25,1.437 5)内,观察四个选项,与其最接近的是选项C.
例1　(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)
(2)已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-ln x)=e+1.若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0所在的区间是(　　)A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)
令f(x)-ln x=k,则f(x)=ln x+k.由f(f(x)-ln x)=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=ln k+k=e+1,可知k=e.
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.可简记为:端点函数符号反,区间(a,b)内有零点.(3)通过作函数的图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)函数f(x)=πx+lg2x的零点所在的区间为(　　)
因为函数f(x)在定义域上是增函数,所以f(x)至多存在一个零点.因为f(x)的图象在区间(0,+∞)内是连续的,
(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上　　　　(填“存在”或“不存在”)零点.
(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的,∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵6∈[1,8],-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.
例2　(1)函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为(　　)A.1B.2C.3D.4
解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:当对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数问题.先作出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
解题心得利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数,可利用函数图象确定方程的根所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M;(3)区间M内的任一实数均可作为方程的近似解,通常取区间M的一个端点.
对点训练3用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为　　　　　.(精确到0.01) 
由于f(1.556 25)≈-0.029和f(1.562 5)≈0.003,显然f(1.556 25)×f(1.562 5)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.
由y=|f(x)|+k=0,得|f(x)|=-k≥0,故k≤0.作出函数y=|f(x)|的图象,如图所示,要使直线y=-k与函数y=|f(x)|的图象有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,故选D.
解题心得已知函数有零点(对应的方程有根),求参数取值范围的常用方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对函数的解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,再数形结合求解.
对点训练4已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)
函数f(x)=2ax-a+3为定义域上的单调函数,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,且函数f(x)的图象在区间(-1,1)内是连续的,则f(-1)×f(1)<0,可得(-3a+3)(a+3)<0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
一元二次方程根的分布问题
二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题,可利用二次函数的图象与x轴的交点情况来研究,一般从开口方向、对称轴位置,判别式Δ的符号以及端点函数值的符号等方面考虑.设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则f(x)的零点可用一元二次方程ax2+bx+c=0的根来研究.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根(不妨设x1典例　已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
解:(1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,作出函数的大致图象,如图.
(2)根据函数的图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内,作出函数的大致图象,如图.