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高中数学一轮总复习课件2.5 指数与指数函数
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这是一份高中数学一轮总复习课件2.5 指数与指数函数，共43页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，知识巩固，对点训练4，指数型复合函数的性质等内容，欢迎下载使用。
指数函数是最重要的基本初等函数之一,也是高考的重点.备考时要注意指数函数的图象和性质的应用,尤其是其单调性的应用更要重视.通过本节的复习,要注意分类讨论思想和数形结合思想的应用.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
3.分数指数幂的意义
4.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
5.指数函数(1)定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象和性质
问题思考幂函数与指数函数有何区别?
幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;而指数函数形式为y=ax(a>0,且a≠1),其自变量x处于指数位置,常数a处于底数位置,且a须满足大于0且不等于1.
指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.
4.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为 .
∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0
对点训练1求值与化简:
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
曲线|y|=2x+1与直线y=b的大致图象如图所示.由图可知,若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
(3)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 .
拓展延伸将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围为 .
作出曲线y=|2x-1|的图象与直线y=b如图所示. 由图象可得b的取值范围是(0,1).
对点训练2(1)函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( )A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)
指数函数y=ax的图象恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度.则点(0,1)平移后得到点(1,5).故点P的坐标为(1,5).
(3)若方程|3x-1|=k有一解,则实数k的取值范围为 .
{0}∪[1,+∞)
函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解.
因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.
命题角度2 解简单的指数方程或指数不等式
解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,先构造同一指数函数,再比较大小;当指数相同,底数不同时,先构造同一幂函数,再比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.
能力形成点1 指数型复合函数的定义域和值域问题命题角度1 形如y=af(x)的函数的定义域和值域问题典例1 求下列函数的定义域和值域:
解题心得1.形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.2.形如y=af(x)的函数的值域,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
解题心得求形如y=f(ax)的函数的值域,可先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.
指数函数是最重要的基本初等函数之一,也是高考的重点.备考时要注意指数函数的图象和性质的应用,尤其是其单调性的应用更要重视.通过本节的复习,要注意分类讨论思想和数形结合思想的应用.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
3.分数指数幂的意义
4.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
5.指数函数(1)定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象和性质
问题思考幂函数与指数函数有何区别?
幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;而指数函数形式为y=ax(a>0,且a≠1),其自变量x处于指数位置,常数a处于底数位置,且a须满足大于0且不等于1.
指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.
4.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为 .
∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0
对点训练1求值与化简:
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
曲线|y|=2x+1与直线y=b的大致图象如图所示.由图可知,若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
(3)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 .
拓展延伸将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围为 .
作出曲线y=|2x-1|的图象与直线y=b如图所示. 由图象可得b的取值范围是(0,1).
对点训练2(1)函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( )A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)
指数函数y=ax的图象恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度.则点(0,1)平移后得到点(1,5).故点P的坐标为(1,5).
(3)若方程|3x-1|=k有一解,则实数k的取值范围为 .
{0}∪[1,+∞)
函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解.
因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.
命题角度2 解简单的指数方程或指数不等式
解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,先构造同一指数函数,再比较大小;当指数相同,底数不同时,先构造同一幂函数,再比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.
能力形成点1 指数型复合函数的定义域和值域问题命题角度1 形如y=af(x)的函数的定义域和值域问题典例1 求下列函数的定义域和值域:
解题心得1.形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.2.形如y=af(x)的函数的值域,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
解题心得求形如y=f(ax)的函数的值域,可先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.
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