高中数学一轮总复习课件★数学文化——数列背景问题

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数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动.《普通高中数学课程标准》明确提出数学文化应融入数学教学活动.在教学活动中,教师应有意识地结合相应的教学内容,将数学文化渗透在日常教学中,引导学生了解数学的发展历程,认识数学在科学技术、社会发展中的作用,感悟数学的价值,提升学生的科学精神、应用意识和人文素养,将数学文化融入数学教学、数学学习中,有利于激发学生的数学学习兴趣,有利于学生进一步理解数学,有利于开阔学生视野、提升数学学科核心素养.我国古代数学强调“经世济用”,注重算理算法,其中很多有关科技、人文等实际问题可转化为等差数列、等比数列问题.
等差数列、等比数列综合问题与数学文化
一、数学文化中的等差数列1.(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法正确的是(　　)(注:“丈、尺、寸”为非国际通用单位)A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短
由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a1=15寸,a13=135寸,设公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10,同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},首项b1=135,末项b13=15,公差d1=-10,故选项A正确;由于春分的晷长为b7,即b7=b1+6d1=135-60=75.而秋分的晷长为a7,则a7=a1+6d=15+60=75,即a7=b7,故选项B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,故选项C正确;立春的晷长和立秋的晷长分别为b4,a4,即a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d1=135-30=105,则b4>a4,故选项D错误.
2.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问相逢时良马比驽马多行(　　)里.(注:“里”为非国际通用单位,1里=500米)A.540B.426C.963D.114
3.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?” (“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,甲所得为　　　　　. 
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,根据题意,可知等差数列{an}前五项的和为5,前两项和与后三项和相等,
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的底层共有灯(　　)A.64盏B.128盏C.192盏D.256盏
A.F#B.GC.G#D.A
7.《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长3尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为(　　)(结果精确到0.1,参考数据lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
9.(多选)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则下列说法正确的是(　　)A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182C.此数列偶数项的通项公式为a2n=2n2D.此数列的前n项和Sn=n(n-1)
观察此数列,偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项是后一项减去后一项的项数,即为a2n-1=a2n-2n,由此可得a20=2×102=200,A正确,C正确;a19=a20-20=180,B错误;Sn=n·(n-1)=n2-n是一个等差数列的前n项和,而题中数列不是等差数列,故该数列的前n项和不可能为Sn=n(n-1),D错误.
11.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方:将1,2,…,9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15,如图所示.
一般地,将连续的正整数1,2,…,n2填入n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上数的和为Nn,例如N3=15,N4=34,N5=65,……那么Nn=　　　　　.