高中数学一轮总复习课件5.2　等差数列及其前n项和

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1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
等差数列是最重要的基本数列,也是高考必考内容.高考既可能在解答题中考查,也可能在选择题或填空题中出现.复习时要牢记基本公式,能准确进行基本量的运算,并且掌握相关性质以简化运算.还要注重数学文化在等差数列中的渗透以及对函数与方程思想运用较多,培养数学运算的核心素养.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.2.等差中项如果三个数a,A,b组成等差数列,那么 A 叫做a与b的等差中项,由等差数列的定义知 2A =a+b.温馨提示1.a,A,b是等差数列的充要条件是2A=a+b.2.数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2).
3.等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d .4.等差数列的前n项和公式
1.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.2.若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.4.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
6.若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
2.已知等差数列{an}满足a3=13,a13=33,则a7等于(　　)A.19B.20C.21D.22
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=　　　　　. 
5.在100以内(包括100)的正整数中有　　　　　个能被6整除. 
例1　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(　　)A.3B.4C.5D.6
(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1.
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于(　　)A.12B.13C.14D.15
(3)(2020全国Ⅱ,文14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　　. 
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于(　　)A.100B.99C.98D.97
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=　　　　　. 
(3)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=　　　　　. 
解 由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.
解题心得等差数列的判定方法(1)证明数列{an}为等差数列的基本方法有两种:①利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d;②利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1.(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断:①通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.②前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}是等差数列.(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.
命题角度1 等差数列项的性质的应用例3　(1)在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于(　　)A.95B.100C.135D.80
由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.
(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于(　　)A.72B.88C.92D.98
(3)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=　　　　.
因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.
(3)在等差数列{an}中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为　　　　　. 
对点训练3(1)已知等差数列{an},若a2=2,a3+a5+a7=15,则数列{an}的公差d等于(　　)A.0B.1C.-1D.2
根据等差数列的性质,a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1,故选B.
(2)已知等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于(　　)A.3B.6C.17D.51
(4)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=　　　. 
∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.
例5　(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为(　　)A.6B.7C.8D.9
(2)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
对点训练4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是(　　)A.5B.6C.7D.8
依题意得2a6=4,2a7=-2,则a6=2>0,a7=-1