高端精品高中数学一轮专题-复数的乘、除运算（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-复数的乘、除运算（讲）（带答案）教案，共4页。教案主要包含了自主学习，合作探究等内容，欢迎下载使用。

知识点1 复数的乘法
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
知识点2 共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示.即z＝a＋bi，则＝a－bi.
知识点3 复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
【合作探究】
探究一 复数乘法的运算
【例1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
【练习1】计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
探究二 复数除法的运算
【例2】计算：(1)eq \f(i－2i－1,1＋ii－1＋i)＋eq \f(－3－2i,2－3i)；
(2)eq \f(－1＋\r(3)i3,1＋i6)＋eq \f(－2＋i,1＋2i).
[分析] 复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[解] (1)因为eq \f(i－2i－1,1＋ii－1＋i)＝eq \f(i－2i－1,i2－1＋i)
＝eq \f(i－2i－1,－2＋i)＝i－1，
eq \f(－3－2i,2－3i)＝eq \f(－3－2i2＋3i,2－3i2＋3i)＝eq \f(－13i,13)＝－i.
所以eq \f(i－2i－1,1＋ii－1＋i)＋eq \f(－3－2i,2－3i)＝i－1＋(－i)＝－1.
(2)eq \f(－1＋\r(3)i3,1＋i6)＋eq \f(－2＋i,1＋2i)＝eq \f(－1＋\r(3)i3,[1＋i2]3)＋eq \f(－2＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－1＋\r(3)i3,2i3)＋eq \f(－2＋4i＋i＋2,5)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))3,－i)＋i＝eq \f(1,－i)＋i＝eq \f(i,－ii)＋i＝2i.
【练习2】计算：(1)eq \f(7＋i,3＋4i)；(2)eq \f(－1＋i2＋i,－i).
解 (1)eq \f(7＋i,3＋4i)＝eq \f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq \f(25－25i,25)＝1－i；
(2)eq \f(－1＋i2＋i,－i)＝eq \f(－3＋i,－i)＝eq \f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.
探究三 共轭复数
【例3】已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
[分析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)→由题意得到方程组求x，y的值→得到复数z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \x\t(z)＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝4，,2x＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
【练习3】若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z).
解 因为f(z)＝2z＋－3i，
所以f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.
又f(＋i)＝6－3i，
所以2＋z－2i＝6－3i.
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，
即3a－bi＝6－i.
由复数相等的定义，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,－b＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))
所以z＝2＋i，
故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3