高端精品高中数学一轮专题-复数的三角表示式（讲）教案

 复数的三角表示式

【自主学习】

知识点1  复数的三角形式

1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．非零复数z辐角θ的多值性

以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．

3．辐角主值

(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．

(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．

知识点2  复数的代数形式与三角形式的互化

复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为

【合作探究】

探究一  代数形式与三角形式的转换

【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；                   (2)z2＝cosθ－isinθ.

【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z3＝－sinθ＋icosθ；    (2)z4＝－sinθ－icosθ；      (3)z5＝cos60°＋isin30°.

探究二  将复数的三角形式化为代数形式

【例2】将复数化为代数形式为________．

【练习2】复数的代数形式是              .

探究三  复数的模与辐角主值

【例3】求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．

【练习3】将z＝(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．

探究四  复数辐角的应用

【例4】复数z满足arg(z＋3)＝π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．

【练习4】已知|z－2i|≤1，求arg(z－4i)最大值．