高端精品高中数学一轮专题-复数的几何意义（讲）（带答案）教案

   复数的几何意义

【自主学习】

知识点1　复平面的概念和复数的几何意义

1.复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.

3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.

知识点2　复数的模

1.如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，

那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).

2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则

(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).

(2)|z|＝|z1|n(n∈N*).

(3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：

①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；

②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.

(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.

【合作探究】

探究一  复数与复平面内的点

【例1】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.

解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.

解得m＝－2或m＝4.

(2)由题意，∴2<m<4.

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，

∴2<m<4或－5<m<－2.

(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

【练习1】实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，

得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，

复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

探究二  复数的模的几何意义

【例2】设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.

(1)|z|＝2；

(2)1≤|z|≤2.

解　(1)方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

方法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

 (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.

【练习2】若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为        .

答案　2π

解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝，由|z－i|≤知≤，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，

∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.

探究三  复数的模及其应用

【例3】已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.

解　方法一　∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝，

由已知得32＋a2<42，

∴a2<7，∴a∈(－，).

方法二　利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知：－<a<.

【练习3】已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值.

解　令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).

∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，

∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为－1＝4，

∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.