高端精品高中数学一轮专题-复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（讲）（带答案）教案

复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

【自主学习】

知识点1  复数的三角形式的运算

设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则

(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

(2)除法：z1÷z2＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)，

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．

(4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)．

知识点2  复数三角形式乘、除运算的几何意义

两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义．

z2≠0，的几何意义是把z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.

【合作探究】

探究一  复数的三角形式的乘、除运算

【例1】(cos＋isin)·(cos＋isin)．

[解]　(cos＋isin)·(cos＋isin)

＝·[cos(＋)＋isin(＋)]

＝(cos＋isin)

＝(＋i)＝＋i.

归纳总结：r1cosθ1＋isinθ1·r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cosθ1＋θ2＋isinθ1＋θ2]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.

【练习1】设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．

解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ

＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ

＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)

＝2coscos＋i(2sincos)

＝2cos(cosθ＋isinθ)

＝－2cos

.

∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，

∴－2cos>0，

所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．

探究二  复数的乘、除运算的几何意义

【例2】向量与－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到，求与向量对应的复数

[解]　将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)，

即z′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝(cos255°＋isin255°)＝－i.

归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便

【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝.

证明：∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i的辐角主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i的辐角，∠1，∠2，∠3都是锐角，所以∠1＋∠2＋∠3＝.