高端精品高中数学一轮专题-导数综合检测卷2（带答案）试卷

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导数综合检测卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）

1．函数的导函数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，故选：.

2．曲线在点处切线的斜率为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】的导数为，

可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.

3．如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是(  )

A．在区间（-2,1）上是增函数

B．在区间（1,3）上是减函数

C．在区间（4,5）上是增函数

D．当时，取极大值

【答案】C

【解析】选项A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误

选项B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B错误

选项C, 区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确

选项D，当处，左边减右边增，取极小值，D错误

答案是C

4．设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】，，

当x＝0时，y′＝a－1.

故曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，

即：，从而a－1＝2，即a＝3.

本题选择D选项.

5．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，

，即，

所以函数是偶函数，

并且，所以函数在单调递减，

，，

，

因为，所以，

即.

故选：D

6．直线是曲线和曲线的公切线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，

，则，由，可得，

则，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①

，则，由，可得，

，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，，②

联立①②可得，.故选：C.

7．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴，

∵是函数的极大值点，∴，解得，

∴，

∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；

∴当时，有极小值，且极小值为．

故选A．

8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由，可得，

当，，当或时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图所示，

因为函数在区间上有最小值，故，

解得：，

故选：C.

二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9．若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】直线的斜率为，

由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；

由的导数为，而，解得，故B正确；

由的导数为，而有解，故C正确；

由的导数为，而，解得，故D正确，

故选：BCD

10．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【解析】由已知，，令得，令得，故

在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，

A正确；

又令得，即，只有1个零点，B不正确；

函数在上单调递减，因为，所以，故C正确；

若在上恒成立，即在上恒成立，设，

，令得，令得，故

在上单调递增，在单调递减，所以，，

故D正确.

故选：ACD

11．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（    ）

A．函数在区间内单调递增

B．函数在区间内单调递减

C．函数在区间内单调递增

D．当时，函数有极大值

【答案】CD

【解析】对于A选项，当时，，则函数在区间上单调递减，A选项错误；

对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B选项错误；

对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C选项正确；

对于D选项，当时，，当时，，所以，函数在处取得极大值，D选项正确.

故选：CD.

12．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】因为，所以，

令，解得，

所以在和时，，在时，，

所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，

则在内单调递增，所以在内，最大；

在时单调递减，所以在内，最大；

在时单调递增，所以在内，最大；

因为，且在区间上的最大值为28，

所以，即k的取值范围是，

故选：AB.

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．

【答案】e

【解析】由函数的解析式可得：，

则，即的值为e，故答案为.

14．已知函数在处有极小值10，则___________．

【答案】

【解析】因为，所以，

又函数在处有极小值10，

且，

解得，或，

当时，

此时，是函数的极小值点，

当时，

，

此时，不是函数的极小值点，

，

，

故答案为：

15．已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得

因此，当且仅当时取等号.

16．已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】因为函数有且仅有一个极值点，

所以只有一个解，

即，只有一个解，

即与只有一个交点，

因为，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，

当时，；当时，，

画出函数的草图如下：

结合图象可得或，

解得或，

当时，，

所以，

令，

所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以恒成立，

所以在上单调递减，

所以函数没有极值点.

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）

17．已知，在与处都取得极值.

（1）求实数，的值；

（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2），，.

【解析】（1），，

在与处都取得极值，

与是的两根，即，

解得，.

（2）由（1）知，，，

令，则或，

和随在，上的变化情况如下表所示：

，极大值为（1），

在，上的最大值为，

对任意，，都有成立，

，解得或.

故实数的取值范围为，，.

18．已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】Ⅰ；Ⅱ.

【解析】时，函数，可得，所以，时，．

曲线则处的切线方程；

即：；

由条件可得，

则当时，恒成立，

令，则，

令，

则当时，，所以在上为减函数．

又，

所以在上，；在上，．

所以在上为增函数；在上为减函数．

所以，所以．

19．设函数.

（1）求函数的极大值点；

（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

所以在，上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值，函数的极大值点为.

（2），可化为，

即在区间上有两个不同的实数根，

令，，

则在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，

所以，又，，

故原方程有两个不同实数解时的的取值范围为.

20．已知函数，其中.曲线在点处的切线斜率为.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求证：.

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ），

由题意可知，，

故；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，

易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极大值也是最大值，

故.

21．已知函数（a为常数）.

（1）当时，求过原点的切线方程；

（2）讨论的单调区间和极值；

（3）若，恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】（1）当时，，

则，

设切点坐标为，

∴，解得，

∴，

∴过原点的切线方程；

（2），

∴，

当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；

当时，令，解得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴，无极大值；

（3），恒成立，即在上恒成立，

当时，恒成立，

当时，，

设，，

∴恒成立，

∴在上单调递减，

∴，

∴，

综上所述.

22．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；

【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.

【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，

所以，解得.所以，.

由解得；由解得，

所以的单调增区间是，单调减区间是.

（2），由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值，，

因为对于都有成立，所以只须即可，

即，解得.