高端精品高中数学一轮专题-函数的极值3（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-函数的极值3（带答案）试卷，共7页。
函数的极值[A级　基础巩固]1．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)   D．(－∞，3)解析：选B　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　)A．(－1,2)   B．(－3,6)C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)   D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)解析：选C　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0，排除B、D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A.，0   B．0，C．－，0   D．0，－解析：选A　f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值，当x＝1时f(x)取极小值0.5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　)A．a＜－1   B．a＞－1C．a＜－   D．a＞－解析：选A　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.6．函数y＝的极大值为__________．解析：函数y＝的定义域为(0，＋∞)，y′＝.令y′＝0，即＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)y′＋0－y单调递增极大值单调递减由表可知，当x＝e时，函数有极大值.答案：7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－198．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：－2或29．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值2(1－ln 2＋a)单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；f(x)在x＝ln 2处取得极小值．极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝，b＝0，c＝－.(2)由(1)知f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.[B级　综合运用] 11.(多选)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中正确的是(　　)A．当x＝时，函数f(x)取得极小值B．f(x)有两个极值点C．当x＝2时函数取得极小值D．当x＝1时函数取得极大值解析：选BCD　由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两极值点，∴B正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故C、D正确．故选B、C、D.12．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 021π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ<x<2kπ＋π时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当(2k－1)π<x<2kπ时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2 021π)，∴0<(2k＋1)π<2 021π，∴0≤k<1 010，k∈Z. ∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 019π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 019π＝＝，故选B.13．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1<a<5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)．答案：[1,5)14．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．[C级　拓展探究]15．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2, ＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)－0＋F(x)单调递减极小值单调递增若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)＋0－F(x)单调递增极大值单调递减 当x>2时，F(x)＝＋1>1，当x<2时，令F(x)＝＋1<0，即a(x－1)＋ex<0， 由于a(x－1)＋ex<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，即x≤1－时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．