数学2.3.2圆的一般方程教案设计

这是一份数学2.3.2圆的一般方程教案设计，共6页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2010·锦州市高一期末测试)两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
[答案] B
[解析] 圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，
两圆心距离d＝|C1C2|＝eq \r((2－0)2＋(－1－0)2)＝eq \r(5)，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，
∴r2－r1故选B.
2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] C
[解析] x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．
3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )
A．(1，－2) B．(3，－2)
C．(2，－1) D．(eq \r(2)＋2，eq \r(2)－3)
[答案] B
[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x－y－5＝0上，故选B.
4．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝eq \r(1－x2)
[答案] B
[解析] 直接法，设P(x，y)，由kPA＝eq \f(y,x＋1)，kPB＝eq \f(y,x－1)及题设条件eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－1(x≠±1)知选B.
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
[答案] D
[解析] 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，
由题意，得eq \r(a2＋9)＝5，∴a2＝16，∴a＝±4.
6．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.
7．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[答案] C
[解析] 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．
8．过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3,0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．x＋4y－3＝0 D．x－4y－3＝0
[答案] A
[解析] 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心C(1，－2)，当CM⊥l时，l截圆所得的弦最短，kCM＝eq \f(－2－0,1－3)＝1，∴kl＝－1，故所求直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
二、填空题
9．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于两点，则m的取值范围是________．
[答案] (－3eq \r(5)，－eq \r(5))∪(eq \r(5)，3eq \r(5))
[解析] 两圆圆心坐标分别为O1(0,0)，O2(m,0)，半径分别为r1＝eq \r(5)，r2＝2eq \r(5).由两圆相交于两点得r2－r1<|O1O2|10．两圆x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．
[答案] x＝eq \f(2,3)
[解析] 两圆的方程x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x＝eq \f(2,3).
11．⊙O：x2＋y2＝1，⊙C：(x－4)2＋y2＝4，动圆P与⊙O和⊙C都外切，动圆圆心P的轨迹方程为______________________．
[答案] 60x2－4y2－240x＋225＝0
[解析] ⊙P与⊙O和⊙C都外切，设⊙P的圆心P(x，y)，半径为R，
则|PO|＝eq \r(x2＋y2)＝R＋1，
|PC|＝eq \r((x－4)2＋y2)＝R＋2，
∴eq \r((x－4)2＋y2)－eq \r(x2＋y2)＝1，
移项、平方化简得：60x2－4y2－240x＋225＝0.
12．已知集合A＝{(x，y)|y＝eq \r(49－x2)}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠∅，则m的取值范围是________________．
[答案] －7≤m≤7eq \r(2)
[解析] 由A∩B≠∅，即直线y＝x＋m与半圆y＝eq \r(49－x2)有交点，如图所示．
如图可知，－7≤m≤7eq \r(2).
三、解答题
13．判断下列两圆的位置关系．
(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；
(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2eq \r(3)x－6＝0；
(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；
(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.
[解析] (1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝eq \r(2)，
d＝|C1C2|＝eq \r((2－1)2＋(－1)2)＝eq \r(2).
∵r1＋r2＝2＋eq \r(2)，r1－r2＝2－eq \r(2)，
∴r1－r2(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－eq \r(3))2＋y2＝9，
∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，
圆C2的圆心坐标为(eq \r(3)，0)，r2＝3，
d＝|C1C2|＝eq \r(3＋1)＝2.
∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．
(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，
C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.
∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，
d＝|C1C2|＝eq \r((2＋6)2＋(3＋3)2)＝10.
∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．
(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，
∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，
d＝|C1C2|＝eq \r((2＋1)2＋(3－1)2)＝eq \r(13).
∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，
∴r2－r114．过圆O：x2＋y2＝R2外一点A(a，b)引圆的两条切线AB和AC(其中B、C是切点)，求经过这两个切点的直线l的方程．
[解析] 解法一：连结OB、OC，则AB⊥OB，AC⊥OC，
∴B、C两点在以OA为直径的圆(x－a)x＋(y－b)y＝0上
∴x2＋y2－ax－by＝0①
由已知，⊙O的方程为x2＋y2＝R2②
②－①得ax＋by＝R2为所求直线l的方程．
解法二：设切点B、C的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则过B点的切线方程为x1x＋y1y＝R2；过C点的切线方程为x2x＋y2y＝R2；
又∵切线AB、AC交于A(a，b)点，即点A在两切线上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1a＋y1b＝R2，,x2a＋y2b＝R2.))
这就是说，坐标(x1，y1)、(x2，y2)适合方程ax＋by＝R2.
∴方程ax＋by＝R2为直线l的方程．
15．求经过两圆x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的交点，且圆心在直线2x－y＝0上的圆的方程．
[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A(1，－2)，B(3,0)，设圆心C(a，b)，则由|CA|＝|CB|及C在直线2x－y＝0上，求出a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3).
∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.
解法二：同上求得A(1，－2)、B(3,0)，则圆心在线段AB的中垂线y＝－x＋1上，又在y＝2x上，得圆心坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))).
∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.
16．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．
[解析] (1)将l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0,2x＋y－7＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝1)).
故直线l经过定点A(3,1)．
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴点A在圆C的内部，故直线l与圆恒有两个交点．
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时，则l⊥AM，由kAM＝－eq \f(1,2)，得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝0.
17．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
[解析] 解法一：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0. ①
∵圆A的方程x2＋y2＋2x＋2y－2＝0. ②
∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0. ③
又∵圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③，
并整理得：r2＝5t2＋6t＋6＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,5)))2＋eq \f(21,5)≥eq \f(21,5)，所以t＝－eq \f(3,5)时，rmin＝eq \r(\f(21,5)).
此时，圆B的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(6,5)))2＝eq \f(21,5).
解法二：如图，设圆A、圆B的圆心分别为A、B.则A(－1，－1)，B在直线l：y＝2x上，连结AB，过A作MN⊥AB，且MN交圆于M、N两点．∴MN为圆A的直径．
∵圆B平分圆A，∴只需圆B经过M、N两点．
∵圆A的半径是2，设圆B的半径为r，
∴r＝|MB|＝eq \r(|AB|2＋|AM|2)＝eq \r(|AB|2＋4).
欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值．
∵A是定点，B是l上的动点，
∴当AB⊥l，即MN∥l时，|AB|最小．
于是，可求得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(6,5)))，rmin＝eq \r(\f(21,5))，
故圆B的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(6,5)))2＝eq \f(21,5).