2021_2022学年新教材高中数学第6章立体几何初步微专题3球的内切外接问题的常见策略学案含解析北师大版必修第二册

第6章 立体几何初步

微专题3　球的内切、外接问题的常见策略

与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系．

类型1　折叠与球外接问题

【例1】　在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P­DCE的外接球的体积为(　　)

A．π    B．π    C．π    D．π

C　[如图，因为AE＝EB＝DC＝1，∠DAB＝∠CBE＝∠DEA＝60°，

所以AD＝AE＝EB＝BC＝DC＝DE＝CE＝1，即三棱锥P­DCE为正四面体，所有棱长均为1，易求得其外接球直径为，所以其外接球体积为π.

]

本题运用公式R2＝r2＋d2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．

类型2　构造长方体求解体积

【例2】　已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，BC＝ ，则球O的体积等于________．

π　[因为DA⊥平面ABC，AB⊥BC，

所以DA，AB，BC两两垂直，构造如图所示的长方体，

又因为DA＝AB＝，BC＝，

所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD＝.

故球O的体积等于π.]

一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R，则有2R＝．

类型3　截面法求解球的体积

【例3】　正四棱锥S­ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为________．

　[设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示．

∴由球的截面的性质，

可得OO1⊥平面ABCD.

又SO1⊥平面ABCD，

∴球心O必在SO1所在的直线上．

∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．

在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，

得SA2＋SC2＝AC2.

∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形．

∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径．

故V球＝.]

根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．

类型4　利用直角三角形确定球心位置

【例4】　已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝，AC＝10，则球O的体积为________．

　[AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝，AC＝10，

因为72＋()2＝102，

所以知AC2＝PA2＋PC2，

所以PA⊥PC，如图所示，

在Rt△ABC中斜边为AC，

在Rt△PAC中斜边为AC，取斜边的中点O，

在Rt△ABC中OA＝OB＝OC，

在Rt△PAC中OP＝OA＝OC，

所以在几何体中OP＝OB＝OC＝OA，

所以点O为该四面体的外接球的球心，外接球半径R＝AC＝5，

所以该外接球的体积为V＝πR3＝.]

处理有关空间图形外接球的问题时，要注意球心的位置与空间图形的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在空间图形的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据空间图形的相关数据求球的半径或体积(表面积).