平面的基本性质

教学目的：

1．能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” ．

2．理解平面的无限延展性．

3．正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．

4．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．

5．理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题．

6．理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题．

教学重点：

1．掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性．

2．平面基本性质的三条公理及其作用．

教学难点：

1．理解平面的无限延展性．

2．集合概念的符号语言的正确使用．

3．对“有且只有一个”语句的理解．

4．确定两相交平面的交线．

授课类型：新授课                    课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入

在初中，我们主要学习了平面图形的性质．平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形．平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形．

当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等．有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？

二、讲解新课

1．平面的两个特征：①无限延展  ②平的（没有厚度）

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分

2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面

（1）一个平面：水平放置和直立；

当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）．

（2） 直线与平面相交，如图1（2）、（3）；

（3）两个相交平面：

画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）．

3平面的画法及其表示方法：

（1）在立体几何中，常用平行四边形表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．

（2）一般用一个希腊字母α、β、γ、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等．

4．空间图形是由点、线、面组成的．

空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示．

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言．（平面α外的直线a）表示（平面α外的直线a）表示或．

例1将下列符号语言转化为图形语言：

（1），，，；

（2），，，，．

解： 

说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）．

例2  将下列文字语言转化为符号语言：

（1）点在平面内，但不在平面内；（2）直线经过平面外一点；

（3）直线在平面内，又在平面内（即平面和相交于直线．）

解：（1），；          （2），；

（3），（即＝）

例3  在平面α内有A，O，B三点，在平面β内有B，O，C三点，试画出它们的图形

答案：右图

三、课堂练习：

1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

 （1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm．                   （   ）

 （2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（   ）

 （3）一个平面的面积为20 cm2．           （   ）

 （4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（   ）

答案：（1）×（2）√（3）×（4）√

2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．

3．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．

4．如图所示，用符号表示以下各概念：

①点A、B在直线a上                 ；

②直线a在平面内　　　；点C在平面内       ；  

③点O不在平面内      ；直线b不在平面内      ．

答案：①  ②  ③

5．①一条直线与一个平面会有几种位置关系       ．

   ②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.

   ③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？

答案： ①3种  ②相交于经过这个点的一条直线  ③至少3根

二、讲解新课

4．平面的基本性质

立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．

公理1  如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．

推理模式：．  如图示：

或者：∵，∴

应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：．

公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

推理模式：如图示：        

或者：∵，∴

应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上．

公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．

指出:今后所说的两个平面（或两条直线）,如无特殊说明,均指不同的平面（直线）．

公理3  经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推理模式：与重合．

或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得．

应用：①确定平面；②证明两个平面重合

“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

实例:（1）门:两个合页，一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚．

公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．

例1 求证:三角形是平面图形

已知：三角形ABC

求证：三角形ABC是平面图形

证明：∵三角形ABC的顶点A、B、C不共线

∴由公理3知，存在平面使得A、B、C

再由公理1知，AB、BC、CA

∴三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内

∴三角形ABC是平面图形

例2 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）

求证：在直线上

证明：∵，∴，，

∵分别属于直线，

∴平面，∴平面，

同理：平面，

又∵平面平面，

所以，在直线上．

四、课堂练习：

1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）

A．∵，∴． B．∵，∴．

C．∵，∴．   D．∵，∴．

其中命题和叙述方法都正确的是（ ）

2．下列推断中，错误的是（ ）

A．

B．

C．

D．，且A、B、C不共线重合

3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．

4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

 （1）空间三点可以确定一个平面                             （   ）

 （2）两条直线可以确定一个平面                             （   ）

 （3）两条相交直线可以确定一个平面                         （   ）

 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面                     （   ）

 （5）三条平行直线可以确定三个平面                         （   ）

 （6）两两相交的三条直线确定一个平面                       （   ）

 （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合         （   ）

 （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线                 （   ）

5．看图填空

 （1）AC∩BD=           

 （2）平面AB1∩平面A1C1=           

 （3）平面A1C1CA∩平面AC=            

 （4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=          

 （5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=         

 （6）A1B1∩B1B∩B1C1=             

答案：1. C  2. C  3.  2,4,8  4. ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√

5.⑴O⑵A1B1⑶O⑷OO1⑸B1⑹B1

五、小结 ：

1．平面的概念；

2．平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；

3．点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换

4．平面的基本性质

三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一” ．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．