高中数学苏教版必修43.2 二倍角的三角函数学案设计

第十五课时  正切函数的图象和性质

教学目标：

会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，理解正切函数的性质，掌握性质的简单应用，会解决一些实际问题；用数形结合的思想理解和处理有关问题，发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.

教学重点：

正切函数的图象和性质

教学难点：

正切函数的性质的简单应用

教学过程：

Ⅰ.课题导入

常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质?

Ⅱ.讲授新课

为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.

∵tan(π＋x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)

根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.

现在利用正切线画出函数

y＝tanx，x∈(－，)的图象

引导学生完成.

引导学生观察得出正切曲线的特征：

正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.

现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.

(1)定义域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝

(2)值域：R

(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π

(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx

∴正切函数是奇函数

∴正切曲线关于原点O对称

(5)单调性：正切函数在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数.

注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数

下面，来看性质的简单应用.

［例1］求函数y＝tan2x的定义域.

解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)   得x≠＋，(k∈Z)

∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝

［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0

解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜

结合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)

［例3］不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小.

解：∵90°＜135°＜138°＜270°

又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数,

∴tan135°＜tan138°

［例4］求函数y＝tan(x＋)的定义域，并讨论它的单调性.

解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z)

得x≠kπ＋，(k∈Z)

∴y＝tan(x＋)的定义域为｛x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝

又由y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函数可知：

当kπ－＜x＋＜kπ＋

即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)时，y＝tan(x＋)是增函数

∴y＝tan(x＋)在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数.

［例5］函数y＝tan2x是否具有周期性，若具有，则最小正周期是什么?

解：由y＝tanx是周期函数，且周期为π可知：只有必须当x至少增加到x＋π时，函数值才重复出现.

也就是说只有2x至少增加到2x＋π时，即x至少增加到x＋时，函数值才重复出现.

∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期为 .

由正、余弦函数最小正周期T＝得正切函数的最小正周期T＝

例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝＝4π.

y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝.

Ⅲ.课堂练习

课本P35  1～4

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题.

Ⅴ.课后作业

课本P46习题  5

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