数学4.3向量与实数相乘导学案

课    题：平面向量的坐标运算（2）

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

2．向量加法的交换律：+=+

3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a  b = a + (b) 

5．差向量的意义： = a,  = b, 则= a  b

    即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

6．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

7．运算定律  λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ     

8． 向量共线定理  向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

10平面向量的坐标表示

  分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，

11．平面向量的坐标运算

若，，

则，，

若，，则

二、讲解新课：

∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0

设=(x1, y1) ，=(x2, y2)  其中

由=λ得， (x1, y1) =λ(x2, y2)      消去λ，x1y2-x2y1=0

探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，

∵  ∴x2, y2中至少有一个不为0

（2）充要条件不能写成       ∵x1, x2有可能为0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：

∥ ()

三、讲解范例：

例1若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x

解：∵=(-1,x)与=(-x, 2) 共线   ∴(-1)×2- x•(-x)=0

   ∴x=±    ∵与方向相同     ∴x=

  例2 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

    解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)  , =(2-1,7-5)=(1,2)

       又 ∵2×2-4×1=0     ∴∥

       又 ∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)      =(2, 4)

          2×4-2×60     ∴与不平行

       ∴A，B，C不共线     ∴AB与CD不重合       ∴AB∥CD

四、课堂练习：

1若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（    ）

A6            B5            C7            D8

2若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（    ）

A-3           B-1           C1            D3

3若=i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量) 与共线，则x、y的值可能分别为（   ）

 A1，2        B2，2         C3，2         D2，4

4已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y=          

5已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为       

6已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x=          

参考答案：1C  2B  3B  4 3  5   6 5

五、小结  向量平行的充要条件（坐标表示）

六、课后作业：

1若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（    ）

 Ax１x２－ｙ１ｙ２＝０                Bｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０

Cｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０               Dｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０

2设a=(，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（    ）

A30°           B60°          C45°         D75°

3设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（    ）

A (k,k)                             B (-k,-k)

C (k２＋１，ｋ２＋１)                 D（ｋ２－１，ｋ２－１）

4若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x=         

5已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝        6若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x=       

7已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行?

8已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD是梯形

9已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，=,求证：∥

参考答案：1D  2C  3C  4 2  5±1  6  7-   8 (略)  9 (略)

七、板书设计（略）

八、课后记：