沪教版高中一年级 第一学期2.1不等式的基本性质导学案及答案
展开2.2 (3)一元二次不等式的解法
一、教学目标设计
掌握用区间表示集合的方法;通过变式教学,学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题,体会数学知识之间的内在联系,形成逻辑思维能力;初步会用不等式解决一些简单的实际问题,增加数学学习的兴趣和用已学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点及难点
用区间表示不等式组的解集;会用不等式解决一些简单的实际问题。
三、教学流程设计
四、教学过程设计
一、 学习如何用区间来表示不等式的解集
1. 用区间来表示不等式的解集
设a,b都为实数,并且a<b,我们规定:
(1) 集合{x}叫做闭区间,表示为;
(2) 集合{x}叫做开区间,表示为;
(3) 集合{x}或{x}叫做半开半闭区间,分别表示
为, 。
(4) 把实数集R表示为(-,+);
把集合{x}表示为[a,+;
把集合{x}表示为(a,+);
把集合{x}表示为(-,b];
把集合{x}表示为(-,b);
在上述所有的区间中,a,b叫做区间的端点,以后我们可以用区
间表示不等式的解集。
2.区间在数轴上的表示
[a,b] (a,b)
[a,b) (a,b]
[a,+) (a,+)
(-,b] (-,b)
3.练习
将上节课中不等式的解集用区间表示。
二、典型例题
例1.解不等式组:
3x-7x-100, ①
2x-5x+20 ②
解:由不等式①的解集为,不等式②的解集为,可知原不等式组的解集为,它在数轴上的表示如图:
[说明]:解由两个或两个以上的不等式组成的不等式组的解,可以将解集表示在同一条数轴上,这样更直观和清晰。能否在数轴上准确的找到几个解集的公共部分,对一部分学生解决这个问题有一定的困难。
巩固练习:解下列不等式组:
(1) x-2x-3>0 , (2) 5-x>4x ,
x+x-2>0 . 3x-5x<0 .
例2.(1)写出一个一元二次不等式,使它的解集为(-1,3).
(2)若不等式ax+bx+3>0的解为-<x<3,求实数 a,b的值.
解:(1)(x+1)(x-3)<0,即x-2x-3<0是一个解集为(-1,3)的一元二次不等式.
(2)解法一:可得方程ax+bx+3=0的两个根为-,3,且a<0.所以运用根与系数的关系得:-=且=-, 即a=-2,b=5.
解法二:方程(x+)(x-3)<0即x-x-<0的解为-<x<3,所以a=-2,b=5.
[说明]:要让学生知道解集为(-1,3)的一元二次不等式有无数个,形如ax-2ax-3a<0(a0)或ax-2ax-3a0(a0)的不等式都满足条件,但二次项系数为1的不等式只有一个。
拓展练习:若不等式ax+bx+c>0的解集为(-2,3),求不等式cx+ax-b<0的解集.
例3.当k为何值时,关于x的一元二次不等式x+(k-1)x+4>0的解集为(-,+)?
解:函数y= x+(k-1)x+4的图像是开口向上的抛物线.因为不等式x+(k-1)x+4>0的解集为(-,+),所以整条抛物线在x轴上方,此时方程x+(k-1)x+4=0的<0.解得k(-3,5).
所以当-3<k<5时, 不等式x+(k-1)x+4>0的解集为(-,+).
[说明]:等价于问题“当k为何值时,函数y=x+(k-1)x+4的图像全部在x轴的上方”。教师可以将例3改编成:“当k为何值时,关于x的一元二次不等式x+(k-1)x+4〈0的解集为空集?”进一步让学生理解一元二次不等式,一元二次方程和二次函数之间的关联。
拓展练习:当k为何值时,不等式2kx+kx-0对于一切实数x都成立?
例4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应用税收外,还征收附加税。已知某种酒每瓶销售价为70元,不收附加税时,每年大约产销100万瓶;若征收附加税,每销100元要征附加税r元(叫做税率r%),则每年的产销量将减少10r万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 应怎样确定?
解:设产销量为每年x(万瓶),则销售收入每年为70x(万元),从中征收附加税额为70xr%(万元),并且x=100-10r。
由题意知 70(100-10r)r%112 即r-10r+160 解得 2r8。
所以,税率定在2%至8%之间,年征收附加税额将不低于112万元。
[说明]由题意,应该用不等式解题,若用方程来列式则不能准确的表达题目的意思。需要注意不等式70(100-10r)r%112与方程70(100-10r)r%=112所表达的实际意义是不一样的。
巩固练习:距离码头南偏东60的400千米处有一个台风中心。已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动,距台风中心350千米以内都受台风影响。问从现在起多少小时后,码头将受台风影响,码头受台风影响的时间大约多久。
三、课堂小结
(1)我们可以借助数轴来求得不等式组的解集。
(2)一些与一元二次不等式有关的问题,可以转化成相应的二次函数的问题,利用二次函数的图像,通过判断图像的开口,与x轴的交点情况来帮助解决问题。
(3)初步了解一元二次不等式在实际生活中的应用
四、作业布置
练习2.2(3),习题2.2
补充练习:
(1)已知集合A={x},集合B={x},求AB与AB.
(2)不等式<2的解集是R ,求实数k的取值范围.
(3)已知函数f(x)=x+px+q,且f(2)=2,若对于任意实数x恒有f(x)x,求实数p,q的值。
(4)某船从甲地沿河顺流航行75公里到达乙码头,停留30分钟后再逆流航行42公里到达丙地。假如水流每小时4公里。要在2小时内完成航行任务,则船速每小时至少需要多少公里?
七、教学设计说明
1.这是两节习题课,通过对几个典型例题的学习,让学生了解和
掌握一元二次不等式的简单应用,更进一步的了解不等式,方程和函数之间的关联,培养学生化归(不等式和函数的相互转化)和数形结合的数学思想,增加数学的应用意识。
四个例题之间的联系不大,可单独处理。教学中设计了针对例题的巩固练习,拓展练习和补充练习,教师可以根据学生的实际水平和教学进度自行选取。
2.利用数轴求几个不等式解集的交集或并集,既直观又清晰。但是学生对于这种方法的使用还不熟练,在课堂教学中,教师要带动学生积极动手进行实践。
在应用题教学中,学生会习惯于用方程来解题。教师要帮助学生仔细阅读分析题意,讨论方程和不等式哪种形式更符合题意,体会一元二次不等式在实际生活中的应用。
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