鲁教版 (五四制)8 正多边形和圆教学设计

5.8 正多边形和圆(1)

教学目标：

1、使学生理解正多边形概念；

2、使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形；

3、通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；

4、通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．

教学重点：

(1)正多边形的定义；

(2)n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形；

(3) 能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

教学难点：

能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

教学过程：

一、新课引入：

同学们思考以下问题：

1、等边三角形的边、角各有什么性质？

2、正方形的边、角各有什么性质？[安排中下生回答]

3、等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[安排中上生回答：各边相等、各角相等]．

各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容“正多边形和圆”．

二、新课讲解：

正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加生产劳动都是必要的．因此本节课首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形的定义和圆的有关知识推导出正多边形与圆的第一个关系定理，即n等分圆周就可得到圆的内接或外切正n边形，它是正多边形画图的理论依据，因此也是本节课的重点之一．

同学回答：什么是正多边形？[安排中下生回答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．]

如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

幻灯展示图形：

上面这些图形都是正几边形？[安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形．]

矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？[安排中下生回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．]

哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？[安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等．]

要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：将圆三等分，其中每等份弧所对圆心角120°、将圆四等分，每等份弧所对圆心角90°、五等分，圆心角72°、六等分，圆心角60°]

哪位同学能用量角器将黑板上的圆三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余学生在下面练习本上用量角器等分圆周．]

大家依次连结各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？[学生答：正多边形．]

求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．

以幻灯所示五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？[安排中等生回答：]

哪位同学能证明这五边形的五个角相等？[安排中等生回答：]

前面的证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的．如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？[安排学生们充分讨论]．

因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等．又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性．

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看．

经过圆的五等分点作圆的切线，大家观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？

PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能说明五边形PQRST的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同学能证明五边形PQRST的各边都相等？[安排中等生回答．]

前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形．”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形．

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相互间讨论研究看看．

例1  用直尺和圆规作一个正六边形.

作法：

(1)任意画一个圆，记圆心为O；

(2)在⊙O上任取一点A，自点A起在⊙O上依次截取长度等于半径OA的弦，得到点B，C，D，E，F；

(3)顺次连接点A，B，C，D，E，F，A．

六边形ABCDEF就是所求的正六边形．

三、课堂小结：

本堂课我们学习的知识：

1、学习了正多边形的定义．

2、n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

四、布置作业

教材P48．习题5.14．