高一数学北师大版选修2-2第一章 §2 应用创新演练教案

1．下列表述：

①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．

其中正确的说法有(　　)

A．2个　　　　　　　　　 B．3个

C．4个       D．5个

解析：由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.

答案： C

2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为(　　)

A．菱形       B．梯形

C．矩形       D．平行四边形

解析：∵＋＝＋，

∴－＝－.∴＝.

∴四边形ABCD为平行四边形．

答案：D

3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)

A．a≤       B．ab≥

C．a2＋b2≥2      D．a2＋b2≤3

解析：∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.

∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.

答案：C

4．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为(　　)

A．a＝b       B．a＋b＝1

C．a＋b＝－3      D．a－b＝1

解析：要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，

即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，

即证|a＋1|＝|b＋2|，

即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，

故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．

答案：D

5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．

答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0

6．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．

解析：∵a＋b＋c＝0，a·b＝0，

∴c＝－(a＋b)．

∴|c|2＝(a＋b)2＝1＋b2.

由(a－b)·c＝0，

∴(a－b)·[－(a＋b)]＝－|a|2＋|b|2＝0.

∴|a|2＝|b|2＝1.

∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

答案：4

7．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

证明：设圆和正方形的周长为L，则圆的面积为π2，正方形的面积为2，则本题即证π)2>2.

要证π2>2，只需证>，只需证>，即证4>π.因为4>π显然成立，所以π2>2.

故原命题成立．

8．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.       ①

因为A，B，C为△ABC的内角，所以

A＋B＋C＝π，              ②

由①②得，B＝，             ③

由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.          ④

由余弦定理及③，可得

b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.

再由④得，a2＋c2－ac＝ac，

即(a－c)2＝0，因此a＝c.

从而有A＝C.               ⑤

由②③⑤，得A＝B＝C＝.

所以△ABC为等边三角形．