高中数学湘教版必修2第3章 三角函数综合与测试学案设计

课    题：正弦定理、余弦定理（4）

教学目的：

1进一步熟悉正、余弦定理内容；

2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学方法：启发引导式

1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用

教学过程：

一、复习引入：

正弦定理：

余弦定理：

          ，

二、讲解范例：

例1在任一△ABC中求证：

证：左边=

==0=右边

例2 在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：

∵B=45<90  即b<a           ∴A=60或120

当A=60时C=75 

当A=120时C=15 

解二：设c=x由余弦定理

将已知条件代入，整理：

解之：

当时

 从而A=60 ，C=75

当时同理可求得：A=120 ，C=15

例3 在△ABC中，BC=a, AC=b,  a, b是方程的两个根，且

2cos(A+B)=1

求（1）角C的度数  （2）AB的长度   （3）△ABC的面积

解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=    ∴C=120

（2）由题设： 

∴AB2=AC2+BC22AC•BC•osC

  即AB=

（3）S△ABC=

例4  如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长

解：在△ABD中，设BD=x

则

即   

整理得：

解之：       （舍去）

由余弦定理：

  ∴

例5  △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ;

   2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积

解：1设三边  且

∵C为钝角  ∴解得

∵      ∴或3   但时不能构成三角形应舍去

当时

2设夹C角的两边为    

S

当时S最大=

例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长

分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程

解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，

在△ADB中，cosADB＝

在△ADC中，cosADC＝

又∠ADB＋∠ADC＝180°

∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC

∴

解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2

评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型

另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：

由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA

三、课堂练习：

1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积

解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝

∴

又，其中R为三角形外接圆半径

∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1

所以三角形三边长的乘积为1

评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：

，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解

2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求

AB

解：在△ADC中，

cosC＝

又0＜C＜180°，∴sinC＝

在△ABC中，

∴AB＝

评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用

3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值

解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π

∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝

∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π

∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符

∴0°＜B＜30°  cosB＝

∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝

又C＝180°－（A＋B）

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－

评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较

四、小结  通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、课后记及备用资料：

 1正、余弦定理的综合运用

余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：

sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA

这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之

［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数

解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，

∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC

∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－  ∴B＝150°

［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值

解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°

在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，

则A＝120°

sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°

＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝

［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状

解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，

由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，

∴sin2C＝sin2B∴B＝C

故△ABC是等腰三角形

2一题多证

［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形

证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝

∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC

∴sinBcosC－cosBsinC＝0

即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）

∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形

证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即

又∵∴即tanB＝tanC

∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形

证法三：∵cosC＝∴

化简后得b2＝c2∴b＝c  ∴△ABC是等腰三角形