中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第05讲 分式及其计算（解析版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点五：分式及其计算

聚焦考点☆温习理解

1、分式的概念

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

当B≠0时，分式有意义，当B=0时，分式无意义；当A=0且B≠0，分式的值等于0.

2、分式的性质

(1)分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：＝，＝(M是不等于零的整式)[来源:学科网]

(2)分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则

4．最简分式

如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．

5．分式的约分、通分

把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．

把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

6．分式的混合运算

在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．

7．分式的化简求值

分式的化简求值题要先化简，再求值.通常情况下有两种情况：一是把字母的值代入化简后的最简分式或整式求值；二是用整体思想，把代数式的值整体代入化简后的最简分式或整式求值.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、分式的概念，求字母的取值范围

【例1】2019•黄石)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A．x≥1且x≠2   B．x≤1    C．x>1且x≠2  D．x<1

【答案】A

【解析】依题意，得x-1≥0且x-200，解得x≥1且x≠2．故选A．

【例2】(2019•贵阳)若分式的值为0，则x的值是　2　．

【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．

【解答】解：∵分式的值为0，

∴x2﹣2x＝0，且x≠0，

解得：x＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键【举一反三】

1. 若分式 有意义，则x的取值范围是_______________ .

【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题

【答案】

【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得.

【详解】由题意得：x-1≠0，

解得：x≠1，

故答案为：x≠1.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.

2．若分式的值为零，则x的值是(　　)

A. 3    B. －3    C. ±3    D. 0

【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题

【答案】A

【解析】试题分析：分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0时，分式的值为零.

由题意得，，故选A.

考点：分式的值为零的条件

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式的值为零的条件，即可完成.

考点典例二、分式的性质

【例3】已知x+y=xy，求代数式-(1-x)(1-y)的值．

【答案】0.

【解析】

试题分析：首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值．

试题解析：∵x+y=xy，
∴-(1-x)(1-y)

=-(1-x-y+xy)
=-1+x+y-xy
=1-1+0
=0

考点：分式的化简求值．

【点睛】(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.

【举一反三】

1. (2019•江苏扬州•3分)分式可变形为(   )

A.      B.-     C.      D.

【考点】：分式的化简

【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号

【答案】：故选D.

考点典例三、分式的加减法

【例4】(2019•山东临沂•3分)计算﹣a﹣1的正确结果是(　　)

A．﹣ B． C．﹣ D．

【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．

【解答】解：原式＝，

＝，

＝．

故选：A．

【点评】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．

【举一反三】

1. (2019•河北省•2分)如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在(　　)

A．段① B．段② C．段③ D．段④

B．解∵﹣＝﹣＝1﹣＝

又∵x为正整数，

∴≤x＜1

故表示﹣的值的点落在②

2. (2019•甘肃省庆阳市•3分)下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误(　　)

A．① B．② C．③ D．④

【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．

【解答】解：﹣

＝﹣

＝

＝．

故从第②步开始出现错误．

故选：B．

【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

考点典例四、分式的四则混合运算

【例5】．(2019•浙江杭州•6分)化简：﹣﹣1

圆圆的解答如下：

﹣﹣1＝4x﹣2(x+2)﹣(x2﹣4)＝﹣x2+2x

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．

【解答】解：圆圆的解答错误，

正确解法：﹣﹣1

＝﹣﹣

＝

＝

＝﹣．

【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．

【举一反三】

1、(2019•广东广州•10分)已知P＝﹣(a≠±b)

(1)化简P；

(2)若点(a，b)在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．

【分析】(1)P＝﹣＝＝＝；

(2)将点(a，b)代入y＝x﹣得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解；

【解答】解：(1)P＝﹣＝＝＝；

(2)∵点(a，b)在一次函数y＝x﹣的图象上，

∴b＝a﹣，

∴a﹣b＝，

∴P＝；

【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键．

2. (2019•益阳)化简：．

【解析】原式=

=．

考点典例五、分式的化简求值

【例6】(2019•湖北省鄂州市•8分)先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．

(﹣)÷

【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝[﹣]÷

＝[﹣])÷

＝•

＝x+2

∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，

∴x≠2且x≠4，

∴当x＝﹣1时，

原式＝﹣1+2＝1．

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．

【举一反三】

1. (2019·贵州安顺)先化简(1+)÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．

【解答】解：原式＝×

＝，

解不等式组得﹣2＜x＜4，

∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，

∵要使原分式有意义，

∴x可取0，2．

∴当x＝0 时，原式＝﹣3，

(或当x＝2 时，原式＝﹣)．

2. (2018武汉水果湖二中中考模拟) 先化简，再求值.

，其中从0,1,2,3,四个数中适当选取.

【答案】，-

【解析】

试题分析：首先化简，然后根据x的取值范围，从0，1，2，3四个数中适当选取，求出算式的值是多少即可．

[来源:Z,xx,k.Com]

考点：分式的化简求值

课时作业☆能力提升

一、选择题

1. (2017湖北武汉第2题)若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为(   )

A．         B．       C．       D．

【答案】D.

【解析】

试题解析：根据“分式有意义，分母不为0”得：

a-4≠0

解得：a≠4.

故选D.

考点：分式有意义的条件.

2. (2018山东省滨州市邹平双语学校八年级期中)下列分式中，最简分式是(　　)

A.     B.     C.     D.

【答案】A.

考点：最简分式.

3. (2018浙江温州中考模拟)化简的结果是(　　)

A．x+1　　　　　　B．x﹣1　　　　　　C．　　　　　　D．

【答案】A．

【考点】分式的加减法．

4. (2019•四川省达州市•3分)a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是(　　)

A．5 B．﹣ C． D．

【答案】D

【解答】解：∵a1＝5，

a2＝＝＝﹣，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，

∵2019÷3＝673，

∴a2019＝a3＝，

故选：D．

5.(2019•临沂)计算a-1的正确结果是

A． B．
C． D．

【答案】B

【解析】原式．故选B．

【名师点睛】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．

二、填空题

5. (2019•江苏泰州•3分)若分式有意义，则x的取值范围是　　．

【答案】 x≠

【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，

解得x≠．

故答案为：x≠．

6. (2018河南中考模拟)若=          +，则          中的数是(　　)

A．﹣1　　　　　　B．﹣2　　　　　　C．﹣3　　　　　　D．任意实数

【答案】B．

【解析】∵ =          +，∴﹣===﹣2，故____中的数是﹣2．故选B．

考点：分式的加减法．[来源#:~z%zst@ep^.com]

7. (2018山东省平邑县阳光中学届九年级一轮复习)化简： =_______________．

【答案】a.

【解析】

试题分析：.所以本题的正确答案为.

考点：分式的混合运算.

8. (2018江苏省宿迁市中考数学三模)若x为的倒数，则的值为________。

【答案】

【解析】∵x为−1的倒数，

∴x=+1，

∴原式=÷=(x+2)(x−2)=( +3)( −1)=2−1

考点：分式的化简.

9. (2018年湖北省武汉市晒湖中学数学中考模拟试题(一))已知a﹣=3，那么a2+=_____．

【答案】11

三、解答题

10. 计算.

【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷

【答案】

【解析】分析：先计算，再做除法，结果化为整式或最简分式.

详解：

.

点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.

11．(2018苏州市工业园区东沙湖学校期中模拟)计算：   

(1)                 (2)

【答案】(1) ；(2)

考点：分式的混合运算.

12. (山东省滨州市2018年)先化简，再求值：(xy2+x2y)×，其中x=π0﹣()﹣1，y=2sin45°﹣．

【答案】

点睛：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13. (2017青海西宁第22题) 先化简，再求值：，其中.

【答案】 ，﹣．

考点：分式的化简求值．

14. (贵州省安顺市2018年)先化简，再求值：，其中.

【答案】，.

【解析】分析：先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将x=-2代入化简后的式子即可解答本题．

详解：原式

=.

∵，∴，舍去，

当时，原式.

点睛：本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．

15. (2019•烟台)先化简(x+3)，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．

【解析】(x+3)

=()

·

，

当x=1时，原式．

【名师点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

16. (2019•武汉)计算的结果是__________．

【答案】

【解析】原式．

故答案为：．

【名师点睛】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．

17. (2019•荆门)先化简，再求值：()2·，其中a，b．

【解析】原式

，

当a，b时，

原式．

【名师点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．