2012数学第8章8.3知能优化训练（湘教版选修2-3）教案

1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D(ξ)的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C.   D．4

解析：选B.∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.

2.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是(　　)

A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0

B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3

C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0

D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3

解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.

3．若随机变量X的密度函数为f(x)＝e－，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1、p2，则p1、p2的关系为(　　)

A．p1>p2   B．p1<p2

C．p1＝p2   D．不确定

解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，所以p1＝p2.

4．设随机变量ξ服从标准正态分布，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c的值为________．

解析：c＋1与c－1关于ξ＝0对称，

∴＝0，∴c＝0.

答案：0

一、选择题

1．在标准正态分布中，其随机变量的数学期望与方差分别为(　　)

A．0,0   B．1,0

C．0,1   D．1,1

解析：选C.标准正态分布，n＝0，σ＝1.

2．某测量值X服从标准正态分布，对于x0，则Φ(x0)＋Φ(－x0)＝(　　)

A．0   B.

C．2Φ(x0)   D．1

答案：D

3．在某标准正态分布中，对于某量a≥0，则Φ(a)与Φ(－a)的大小(　　)

A．Φ(a)＞(－a)   B．Φ(a)＜Φ(－a)

C．Φ(a)≥Φ(－a)   D．Φ(a)≤Φ(－a)

解析：选C.当a＝0时，Φ(a)＝Φ(－a)＝.当a＞0时，Φ(a)＞Φ(－a)．

4．在某测量随机变量的标准正态中，有(　　)

A．P(－1＜x＜1)＞P(0＜x＜2)

B．P(0＜x＜1)＝P(1＜x＜2)

C．P(0＜x＜2)＜P(5＜x＜8)

D．P(x＜－1)＞P(x＞1)

解析：选A.根据标准正态曲线的对称性及Φ(a)的意义，表示P(x＜a)．

5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　)

A．0.025   B．0.050

C．0.950   D．0.975

解析：选C.ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.

6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝(　　)

A.＋p   B.－p

C．1－2p   D．1－p

解析：选B.P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)

＝[1－2P(ξ>1)]＝－P(ξ>1)＝－p.

二、填空题

7．在标准正态分布中，若P(x＜a)＝0.5，则a＝________.

解析：标准正态分布关于y轴对称，P(x＜0)＝0.5.

答案：0

8．若随机变量X服从数学期望值μ，标准差是σ的正态分布，当X＝________时，正态曲线达到最大值．

解析：正态曲线关于μ对称，当X＝μ时有最大值．

答案：μ

9．在标准正态分布Φ(x)＝e－中，若P(x＜3)＝0.9987，则P(－3＜x＜0)＝________.

解析：P(x＞3)＝1－P(x＜3)＝1－0.9987＝0.0013，

∴P(x＜－3)＝P(x＞3)＝0.0013.

又P(x＜0)＝0.5.

P(－3＜x＜0)＝P(x＜0)－P(x＜－3)

＝0.5－0.0013＝0.4987.

答案：0.4987

三、解答题

10．对于正态分布曲线Φ(x)＝e－，若Φ(1.5)＝0.9332，Φ(2)＝0.9772.

(1)求P(－1.5＜x＜1.5)；

(2)求P(－1.5＜x＜2)；

(3)求P(－2＜x＜－1.5)．

解：(1)∵Φ(1.5)＋Φ(－1.5)＝1，

∴Φ(－1.5)＝1－Φ(1.5)，

P(－1.5＜x＜1.5)＝Φ(1.5)－Φ(－1.5)

＝Φ(1.5)－(1－Φ(1.5))

＝2Φ(1.5)－1＝2×0.9332－1＝0.8664.

(2)P(－1.5＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(－1.5)

＝Φ(2)－1＋Φ(1.5)

＝0.9772＋0.9332－1＝0.9104.

(3)P(－2＜x＜－1.5)＝P(1.5＜x＜2)

＝Φ(2)－Φ(0.5)＝0.9772－0.9332＝0.0440.

11．对直径等于1 cm的圆测量的周长是x，设测量的标准差是σ，要使P(|x－μ|≤0.0353)＝0.95，其标准差的最小值是多少？

解：根据定理在正态分布中P＝0.95，

即＝{|x－M|≤1.96σ}，

∴0.0353≤1.96σ，

∴σ≥0.018 (cm)，

∴标准差σ的最小值为0.018 cm.

12．一次数学考试中，某班学生的分数X服从正态分布，全班的平均分为μ＝110.

(1)当全班分数的标准差为10时，计算|x－110|≤19.6的概率；

(2)当全班学生的分数标准差为20时，计算

P(70.8≤x≤149.2)．

解：根据定理P＝0.95，

(1)当σ＝10，μ＝110时，

(x－110)≤19.6，即≤1.96，

∴P＝0.95.

(2)70.8≤X≤149.2，

∴－39.2≤X－110≤39.2，

即≤1.96也是≤1.96.

∴P(70.8≤X≤149.2)＝0.95.

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