高一数学北师大版选修2-1 第二章 §5 第二课时 应用创新演练教案

1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．－

C．±      D.

解析：cos〈a，μ〉＝＝＝，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝，cos θ＝.

答案：A

2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于(　　)

A.       B.

C.      D.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA1＝3，∴A1(4,0, 0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．

而面BB1D1D的法向量为＝＝(－4,4,0)，

∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈，〉|＝＝＝.

答案：C

3.如图所示，点P是△ABC所在平面外的一点，若PA、PB、PC与平面α的夹角均相等，则点P在平面α上的投影P′是△ABC的(　　)

A．内心       B．外心

C．重心       D．垂心

解析：由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．

答案：B

4．如果一个正方体的十二条棱所在的直线与一个平面的夹角都相等，记作θ，那么sin θ的值为(　　)

A.      B .

C.      D．1

解析：由于两条平行直线和同一平面的夹角相等，则在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BC1满足和十二条棱所在的直线夹角相等，如图．建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得＝(1,1,0)，＝(0,1,1)．平面BA1C1的一个法向量n＝(1，－1,1)又＝(0,0,1)则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.

答案：B

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．

解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量．

＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．

cos〈，〉＝＝.

所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.

答案：

6.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________．

解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，

则＝(，－，2)，＝(，1,2)，

设平面B1DC的法向量为

n＝(x，y,1)，由

解得n＝(－，1,1)．

又∵＝，

∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.

答案：

7．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点．

求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．

解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，

B(，0,0)，C1(0,1，)，

D.

易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则有

解得x＝－y，z＝－y.

故可取n＝(1，－，)．

所以cos〈n，〉＝＝＝.

即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.

8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D在棱PB上．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC夹角的余弦值．

解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

设PA＝a，由已知可得

A(0,0,0)，B，C，P(0,0，a)．

(1)    证明：∵＝(0,0，a)，＝(a,0,0)，

(2)    ∴·＝0，∴BC⊥AP.

又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

(2)∵D为PB的中点，

∴D，＝，

又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴＝(a,0,0)是平面PAC的一个法向量．

∴cos〈，〉＝＝＝，

设AD与平面PAC的夹角为θ，

则sin θ＝，cosθ＝.

∴AD与平面PAC夹角的余弦值为.