高一数学北师大版选修2-1 第二章 §5 第一课时 应用创新演练教案
展开
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90
解析：连接BC1，则MC为DM在平面B1C上的投影．
因为CM⊥MN，所以DM⊥MN.又MN∥BC1∥AD1.
所以DM⊥AD1，即AD1与DM的夹角为90°.
答案：D
2.(2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为
( )
A. B.
C. D.
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，
＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝
＝＝.
答案：A
3.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α、β平面内引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
解析：设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM、FN分别是α、β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
答案：D
5．平面π1的一个法向量n1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．
解析：n1·n2＝2－4＋2＝0，∴n1⊥n2，∴〈n1，n2〉＝，即α与β垂直，
∴sin〈n1，n2〉＝1.
答案：1
6.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0.
故AB1与BM的夹角为90°.
答案：90°
7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求平面A1C1C与平面A1B1C的夹角．
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
设AC的中点为M，连BM，
∵BM⊥AC，BM⊥CC1，
∴BM⊥平面A1C1C，即＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)，
＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)，
∴n·＝－2x＝0，n·＝－2x＋2y－2z＝0.
令z＝1，解得x＝0，y＝1.
∴n＝(0,1,1)．
设法向量n与的夹角为φ，平面A1C1C与平面A1B1C的夹角为θ.
∵cos θ＝|cos φ|＝＝，解得θ＝，
即平面A1C1C与平面A1B1C的夹角为.
8．(2012·上海高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
解：(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD＝＝2，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.
(2)法一:如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2，0)，E(1，，1)，＝(1，，1)，＝(0,2，0)．
设与的夹角为θ，则
K]
cos θ＝＝＝，θ＝.
由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
法二:取PB的中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF＝、AF＝、AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF＝.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
