精品高中数学一轮专题-《平面向量》单元测试卷 （带答案）

《平面向量》单元测试卷

考试时间：120分钟     满分：150

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．若与都是单位向量，则

C． D．若，则

【答案】C

【解析】

对于A，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A错误；

对于B，，与的夹角不确定，故B错误；

对于C，由向量数乘的定义可知正确；

对于D，，说明与垂直，故D错误；

故选：C.

2．在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

，

.

故选：B.

3．已知向量，，若，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为，所以，解得，所以，

所以，

故选：C.

4．在中，，点是边上的中点，，，则的值为（    ）

A． B． C．14 D．

【答案】A

【解析】

，，则．

故选：A

5．设，，且，则锐角的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵，，且，∴，

∴．∵为锐角，．

故选：

6．在中，若，且，则为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【解析】

解：因为，所以，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以为等腰直角三角形，

故选：C

7．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ）

A． B．10 C． D．5

【答案】A

【解析】

由，，

可得，

因为，，三点共线，所以，

所以存在唯一的实数，使得，即，

所以，解得，.

故选：A.

8．G是的重心，分别是角的对边，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为G是的重心，所以，又，可令，

解得，所以，

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设向量，，则（    ）

A． B．与的夹角是

C． D．与同向的单位向量是

【答案】BC

【解析】

因为，，

所以，，故A错误

因为，所以与的夹角是，故B正确

因为，所以，故C正确

与同向的单位向量是，故D错误

故选：BC

10．设向量、满足，且，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】，在等式两边平方可得，可得，

故A选项正确，D选项错误；

，B选项错误；

，C选项正确.

故选：AC.

11．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．与的夹角为

【答案】BC

【解析】

，∴，∴，

∴，，，

∴与的夹角不是，

故选：BC.

12．下列关于平面向量的说法中错误的是（    ）

A．若，则存在唯一的实数，使得

B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

C．若且，则

D．若点为的垂心，则

【答案】ABC

【解析】

解：对于A，当时，满足，但不满足存在唯一的实数，使得，所以A错误；

对于B，因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，与共线，所以且，所以B错误；

对于C，由于，，所以当时，等号成立，所以C错误；

对于D，因为点为的垂心，所以，所以,所以,同理可得所以，所以D正确，

故选：ABC

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是___________．

【答案】或.

【解析】

由题意，单位向量与向量共线，

则向量，即向量的坐标是或.

14．已知向量与垂直，则___________.

【答案】

【解析】

由题意，，则，

.

故答案为：

15．已知向量，且，那么与的夹角大小是___________.

【答案】

【解析】

，，

，

所以，

故答案为：

16．已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，点在边上，且，，则的面积最大值为___________.

【答案】

【解析】

因为，所以，

即，所以.

因为，解得.

因为，故，

所以

，

由基本不等式可得，，

当且仅当，时，等号成立，即的最大值为，

所以.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知向量，.

（1）若向量，且，求的坐标；

（2）若向量与互相垂直，求实数的值.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

解：（1）设，因为，所以，

因为，所以，解得或，

所以或.

（2）因为向量与互相垂直

所以，即，

而，，所以，，

因此，解得.

18．在中，是的中点，，，.

（1）求的面积；

（2）若为上一点，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）∵是中点，且，，，

∴，∴，

∴，∴，

而为三角形内角，故，

∴.

（2）∵，且，，三点共线，

∴，解得.

19．已知在中，角的对边分别为，且，．

（1）求；

（2）若，且，求的长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1），，

，解得：（舍）或，

.

（2）由可知：是上靠近的三等分点，

，

，解得：，

，.

20．在条件①；②；③中任选一个，补充以下问题并解答：

如图所示，中内角A､B､C的对边分别为a､b､c，___________，且，D在AC上，.

（1）若，求；

（2）若，求AC的长.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【解析】

解：选①，，

由正弦定理得，，

整理得，，由余弦定理得：，

由A为三角形内角得，；

选②，，

由得，

因为，所以，即，由于，

所以，即，故；

选③，，

所以，整理得，，

由正弦定理得，，由余弦定理得，，

由A为三角形内角得，；

（1）因为，，且，

所以为等边三角形，

所以，，，

中，由正弦定理得，，

即，

所以，

（2）设，则，，

中，由余弦定理得，，

故，.

21．在中，角，，所对的边分别为，，且.

（1）求；

（2）已知，若为的中点，且，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）因为，由正弦定理得，

即，所以，

因为在中，，所以，

因为，所以.

（2）因为为的中点，则两边平方得，

因为，所以，

解得或(舍去)，

所以的面积为.

22．如图，已知正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点.

（1）.求；

（2）当的周长为2时，求的大小.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为,

（2）设，，，其中、、；

则，，的周长为，

解得

则，同理；

，

，

．