初中数学苏科版八年级上册6.2 一次函数巩固练习
展开第6章一次函数--6.1--6.2小节提优练习
一、选择题
- 函数 中，自变量 的取值范围是
A． B．
C． D．
- 函数 自变量的取值范围是
A． B． C． D．
- 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为 千米/小时，特快车的速度为 千米/小时，甲、乙两地之间的距离为 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离 （千米）与快车行驶时间 （小时）之间的函数图象是
A．
B．
C．
D．
- 如图，点 ，， 在一次函数 的图象上，它们的横坐标依次为 ，，，分别过这些点作 轴与 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是
A． B． C． D．
- 一辆汽车和一辆摩托车分别从 两地去同一城市，它们离 地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是 ．
A．摩托车比汽车晚到 B． 两地的路程为
C．摩托车的速度为 D．汽车的速度为
- 若点 在函数 的图象上，且 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
- 如图，一次函数 的图象分别与 轴、 铀交于 ， 两点，过原点 作 垂直于直线 交 于点 ，过点 作 垂直于 轴交 轴于点 ，过点 作 垂直于直线 交 于点 ，过点 作 垂直于 轴交 轴于点 ，依此规律作下去，则点 的坐标是
A． B． C． D．
- 在平面直角坐标系中，点 在直线 上，过点 作 轴于点 ，作等腰直角三角形 （ 与原点 重合），再以 为腰作等腰直角三角形 ；以 为腰作等腰直角三角形 ，，按照这样的规律进行下去，那么 的坐标为
A． B．
C． D．
- 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ，以 为直径作 ．下列结论：①抛物线的最小值是 ；②抛物线的对称轴是直线 ；③ 的半径为 ；④ 抛物线上存在点 ，使四边形 为平行四边形；⑤直线 与 相切．其中正确结论的个数是
A． B． C． D．
- 下列各图象中， 表示是的一次函数．
A． B． C． D．
二、填空题
- 函数 的定义域为 ．
- 对于一次函数 ，当 时， ；当 时， ．
- 点 是平面直角坐标系中一动点，将点 绕着点 顺时针旋转 到点 ，点 怡恰好落在直线 上，当点 到原点的距离最小时，点 的坐标是 ．
- 在平面直角坐标系中，抛物线 如图所示，已知 点坐标为 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，则点 的坐标为 ．
- 在平面坐标系中，正方形 的位置如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，延长 交 轴于点 ，作正方形 ，正方形 的面积为 ，延长 交 轴于点 ，作正方形 ， 按这样的规律进行下去，正方形 的面积为 ．
- 如图，在平面直角坐标系 中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点 的坐标为 ，点 在 轴的上方， 的面积为 ，则 内部（不含边界）的整点的个数为 ．
- 如图，平面直角坐标系中，， 为 轴正半轴上一点，连接 ，在第一象限作 ，，过点 作直线 轴于 ，直线 与直线 交于点 ，且 ，则直线 解析式为 ．
- 菱形 ，，，，按照如图所示的方式放置．点 ，，， 和点 ，，， 分别在直线 和 轴上．已知 ，点 ，，则 的坐标是 （用含 的式子表示）
三、解答题（共10题）
- 分别写出下列函数表达式，并指出其中的常量与变量、自变量与函数．
(1) 汽车油箱中有汽油 ，汽车平均耗油量为 ，如果不再加油，油箱中的油量 （单位：）与行驶路程 （单位：）之间的关系．
(2) 有 本图书借给学生阅读，每人有 本，余下的图书数 和学生数 之间的关系．
- 已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 ，，四边形 （ 是原点）的一组对边平行，且 ．
(1) 求点 ， 的坐标；
(2) 求点 的坐标；
(3) 如果一个一次函数 （， 为常数，且 ）的图象经过点 ，，求这个一次函数的解析式．
- 近日，宝安区提出了“绿色环保，安全骑行”的倡议，号召中学生在骑自行车时要遵守交通规则，注意交通安全．周末，小峰骑共享单车到图书馆，他骑行一段时间后，在某一路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向图书馆方向前行，途中突然发现钥匙不见了，于是着急地原路返回，在等红绿灯的路口处找到了钥匙，便继续前往图书馆，小峰离家距离与所用时间的关系示意图如图所示．请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1) 图中自变量是 ，因变量是 ；
(2) 小峰等待红绿灯花了 分钟；
(3) 在前往图书馆的途中，小峰一共骑行了 米；
(4) 小峰在 时间段的骑行速度最快，最快的速度是 米/分．
- 若三点 ，， 在同一条直线上，求：
(1) 的值；
(2) 这条直线经过哪些象限．
- 一次函数的图象与直线 的交点 的横坐标为 ，与直线 的交点 的纵坐标为 ，求这个一次函数的解析式．
- 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ，，点 的坐标为 ．
(1) 求 的值；
(2) 已知点 在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若 的面积是 面积的 倍，求点 的坐标．
- 已知点 ，且无论 取何值，点 都在直线 上．
(1) 求直线 的解析式；
(2) 若 是直线 上的点，求 的平方根．
- 如图，在 中，，，； 是 的延长线上一个动点，，．
(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明；
(2) 设 ，，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3) 当 为等腰三角形时，求 的长．
- 如图 ，直线 分别与 轴、 轴交于 ， 两点， 平分 交 于点 ，点 为线段 上一点，过点 作 交 轴于点 ，已知 ，，且 ， 满足 ．
(1) 求直线 的解析式．
(2) 若点 为 中点，延长 交 轴于点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ．
①判断 与 轴的位置关系并说明理由．
②求 的长．
(3) 图 ，若点 的坐标为 ， 是 轴的正半轴上一动点， 是直线 上一点，且 的横坐标为 ，是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，直线 恰好经过 ， 两点．
(1) 写出点 的坐标；
(2) 求出抛物线 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 的坐标；
(3) 点 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为 且 ，求出 的坐标．
答案
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】由题意得，，
解得 ．
【知识点】函数自变量的取值范围
2. 【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
3. 【答案】C
【解析】由题意可知经过 小时，两车相遇，此时两车之间的距离为 ．
特快车到达甲地前，两车的距离增长较快．当特快车到达甲地后，甲、乙两车之间的距离增长较慢．
【知识点】函数关系的表示
4. 【答案】B
【知识点】一次函数的解析式
5. 【答案】C
【知识点】函数关系的表示
6. 【答案】D
【知识点】一次函数的解析式
7. 【答案】C
【解析】过 ，，， 分别作 ，，，，垂足分别为 ，，，，
因为一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
可得四边形 是正方形，
同理可得四边形 ，四边形 也是正方形，
所以点 ，
可求 ，
所以点 ，
同理 ，即，
，即 ．
【知识点】一次函数的解析式
8. 【答案】B
【知识点】一次函数的解析式
9. 【答案】D
【解析】 在 ，当 时， 或 ，
点 ，，
抛物线的对称轴为 ，
故②正确；
当 时，，
故①错误；
的直径为 ，即半径为 ，故③错误；
在 中，当 时，，
点 ，
当 时，，
解得：，，
点 ，
则 ，
，
，
四边形 不是平行四边形，故④错误；
，
点 ，
设直线 解析式为 ，
将点 ， 代入，得：
解得：
直线 解析式为 ；
设直线 解析式为 ，
将点 ， 代入，得：
解得：
直线 解析式为 ，
由 知 于点 ，
直线 与 相切，故⑤正确．
【知识点】二次函数的对称轴、平行线及其判定、二次函数与方程、一次函数的解析式、二次函数与圆综合、二次函数的最值
10. 【答案】A
【解析】【分析】一次函数的图象是直线．
【解析】解：表示是的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了函数的定义，一次函数和正比例函数的图象都是直线．
【知识点】一次函数的概念
二、填空题
11. 【答案】
【解析】根据题意得：，
解得：．
【知识点】函数自变量的取值范围
12. 【答案】 ；
【知识点】一次函数的解析式
13. 【答案】
【解析】设 ．三垂直可求得 ，
坐标满足 ， 在直线 上，
过 作 于 ，
当 与 重合时， 到 距离最小，，
．
【知识点】一次函数的解析式、坐标平面内图形的旋转变换
14. 【答案】
【解析】 点坐标为（），
直线 为 ，（），
，
直线 为 ，
解 得 或
（），
（），
，
直线 为 ，
解 得 或
，
，
故答案为 ．
【知识点】一次函数的解析式、二次函数与方程
15. 【答案】 ；
【解析】 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，，
，
，，
四边形 是正方形，
，，
，，
，
，
，即 ，
，
，
正方形 的面积 ，，
故正方形 的面积为：．
【知识点】一次函数的解析式
16. 【答案】 或 或
【解析】设 ，
在 轴上方，
，
点 的坐标为 ，
，
的面积 ，
，
，
由图形的对称性，
设 ，
①当 时，可得 内部的整数点 个，
②当 且 时，
的直线解析式 ，
的直线解析式 ，
设直线 与直线 与直线 分别交于点 ，，
，，
，
内部（不含边界）直线 上的整点的个数为 或 ，
同理可得， 内部（不含边界）直线 上的整点的个数为 或 ，
综上所述， 内部（不含边界）的整点的个数为 或 或 ．
【知识点】一次函数的解析式
17. 【答案】
【解析】过 作 轴，交 轴于 ，交 于 ，则 ．
，
，，
，
，
，，
在 和 中，
，
，，
，
设 ，，
，
点 在直线 上，
，则 ，
，即 ，．
点 在直线 上，
，
，，
，
，
设直线 的解析式是 ，
把 代入得：，
即直线 的解析式是 ．
【知识点】性质与判定综合(D)、一次函数的解析式
18. 【答案】
【解析】分别过 ，， 作 轴的垂线，垂足分别为 ，，，如图，
，而四边形 和四边形 都为菱形，
，
在 中，
，，
，，
，，
在 中，
，，
，，
，，
同理可得 ，
把 ， 分别代入 得
解得
直线解析式为 ，
由 ，， 的纵坐标的规律可得 的纵坐标 ，
当 时，，
解得 ．
的坐标是 ．
故答案为 ．
【知识点】菱形的性质、一次函数与四边形的综合、一次函数的解析式
三、解答题
19. 【答案】
(1) ，常量是 和 ，变量是 和 ，自变量是 ．
(2) ．常量是 和 ，变量是 和 ，自变量是 ．
【知识点】解析式法
20. 【答案】
(1) 一次函数 中，
当 时，；
当 时，，
，．
(2) 四边形 （ 是原点）的一组对边平行，
四边形 是梯形，
在梯形 中，，，，
当 时（如图1），点 的坐标为 ，
当 时（如图2），设点 ．
，
，
，，
这时点 的坐标为 或 ，
点 的坐标为 或 或 ．
(3) 点 ， 在一次函数 的图象上，
点 与 都不符合题意，只有当 为 时，，
这个一次函数的解析式为 ．
【知识点】一次函数的解析式、平面直角坐标系及点的坐标、勾股定理
21. 【答案】
(1) 所用时间；离家距离
(2)
(3)
(4) 第 分钟；
【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、函数的概念
22. 【答案】
(1) ．
(2) 一、二、四．
【知识点】k,b对一次函数图象及性质的影响、一次函数的解析式
23. 【答案】 ．
【知识点】一次函数的解析式
24. 【答案】
(1) 点 在一次函数 上，
，得 ，即 的值是 ．
(2) ，
一次函数解析式为 ，
当 时，，即点 的坐标为 ，
，
点 ，
，
的面积是 ，
又 的面积是 面积的 倍，
的面积是 ，
设点 的坐标为 ，
，得 ，
点 的坐标为 ．
【知识点】坐标平面内图形的面积、一次函数的解析式
25. 【答案】
(1) 令 ，得点 的坐标为 ；再令 ，得点 的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，
无论 为何值，点 都在直线 上，
解得
直线 的解析式为 ．
(2) 是直线 上的点，
，即 ，
．
故 的平方根为 ．
【知识点】平方根的运算、一次函数的解析式、一次函数图像上点的坐标特征
26. 【答案】
(1) ．
，
．
又 ，
．
(2) ，，，
，得 ．
，
．
在 中，，，
．
又 ，，
，整理得 ．
(3) 当 为等腰三角形时，与它相似的 也是等腰三角形，有 种情况：
①如图，当 时，，此时 ，
．
②如图，当 时，，此时 ，
，得 ．
③如图，当 时，，此时 ，解得 ，
．
综上所述，当 为等腰三角形时， 的长为 或 ．
【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质、函数自变量的取值范围、对应边成比例、两角分别相等
27. 【答案】
(1) 由 ，
，
，，
，，
设 解析式为：，将 ， 代入，
直线 的解析式为：．
(2) ①在 和 中，
，
，
轴．
②从①可知，， 为等腰直角三角形．
．
设 ，则有 ，，解得 ，即：．
(3) ，．
直线 的解析式为：，
点的横坐标为 ，故 ．
要使 为等腰直角三角形，必有 ，且 ，
如图 ，过 ， 分别向 轴作垂线垂足分别为 ，．
，
，又 ，
，
，
．
即存在点 ，使 为等腰直角三角形．
【知识点】一次函数的解析式、边角边、一次函数与三角形的综合、等腰直角三角形的判定、等腰直角三角形的性质、一次函数图像上点的坐标特征
28. 【答案】
(1) 直线 恰好经过 ， 两点，
.
(2) 抛物线 过点 ，，
解得
抛物线的解析式为 ，
对称轴为 ，点 ．
(3) 由 ，
可得 ，，
，，，，
可得 是等腰直角三角形，
，．
如图，设抛物线对称轴与 轴交于点 ，
，
过点 作 于点 ，
，
可得 ，，
在 与 中，，，
，
，，
解得 ，
点 在抛物线的对称轴上，
点 的坐标为 或 ．
【知识点】二次函数的解析式、一次函数的解析式
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